Konvergenz uneigentl Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mi 29.04.2009 | | Autor: | reason |
hallöle
ich hab ne kleine frage zur diskussion der konvergenz eines integrals.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(1/1+x^6) dx}
[/mm]
ich weiß schon mal was dabei rauskommen soll und das ist 3pi/2
aber ich hab keinen plan wie sich der ausdruck im integral umformen läßt.
klar ist schon mal, dass es sich um eine gerade funktion handelt womit sich schreiben lässt:
[mm] 2*\integral_{0}^{\infty}{(1/1+x^6) dx}
[/mm]
mir fällt nur kein ausdruck ein, der für den grenzwert gegen null bzw unendlich pi/3 ergibt.
kann mir da jemand einen tip geben.
das von mathematica berechnete integral ist ziemlich heftig, womit sich also die idee, das integral einfach zu berechnen und dann die grenzwerte zu betrachten schon mal kicken lässt.
danke für die mühe und übrigends
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mi 29.04.2009 | | Autor: | abakus |
> hallöle
> ich hab ne kleine frage zur diskussion der konvergenz
> eines integrals.
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{(1/1+x^6) dx}[/mm]
> ich weiß schon
> mal was dabei rauskommen soll und das ist 3pi/2
> aber ich hab keinen plan wie sich der ausdruck im integral
> umformen läßt.
> klar ist schon mal, dass es sich um eine gerade funktion
> handelt womit sich schreiben lässt:
> [mm]2*\integral_{0}^{\infty}{(1/1+x^6) dx}[/mm]
> mir fällt nur kein
> ausdruck ein, der für den grenzwert gegen null bzw
> unendlich pi/3 ergibt.
> kann mir da jemand einen tip geben.
> das von mathematica berechnete integral ist ziemlich
> heftig, womit sich also die idee, das integral einfach zu
> berechnen und dann die grenzwerte zu betrachten schon mal
> kicken lässt.
Hallo,
die dort angegebene Stammfunktion sieht schon heftig aus, aber schließlich musst du nicht irgendwelche Werte, sondern nur 0 oder "unendlich" einsetzen.
Nur Mut!
Gruß Abakus
> danke für die mühe und übrigends
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mi 29.04.2009 | | Autor: | reason |
hmm was meinst du mit einsetzen.
in das integral? oder in die stammfunktion. die stammfunktion berechnen? das möcht ich sehen, wer das an einem tag schafft..kleiner scherz.
ich dachte eher an was wie cotan oder so. da würd auch das Pi nen sinn ergeben.
haste noch n tip
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 29.04.2009 | | Autor: | reason |
eieijei ein durcheinander :)
das hab ich auch schon gemacht. der zweite teil divergiert und das verwundert mich eben.
brauch ich für den ersten teil nicht auch eine stammfunktion?
ich kann auch abschätzen und komm auch
[mm] \integral_{0}^{1}{1/(1+x^6) dx} \le \integral_{0}^{1}{1/x^6 dx}
[/mm]
mit der stammfkt [mm] -1/5x^5 [/mm] was aber wieder einer divergenten ausdruck ergibt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> eieijei ein durcheinander :)
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> das hab ich auch schon gemacht. der zweite teil divergiert
> und das verwundert mich eben.
Ich denke nicht:
$\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_1^M{\frac{1}{x^6} \ dx}=\lim\limits_{M\to\infty}{-\frac{1}{5}\cdot{}\left[\frac{1}{x^5}\right]_1^M=-\frac{1}{5}\cdot{}\lim\limits_{M\to\infty}\left[\frac{1}{M^5}-1\right]=-\frac{1}{5}\cdot{}(-1)=\frac{1}{5}$, also äußerst konvergent
> brauch ich für den ersten teil nicht auch eine
> stammfunktion?
> ich kann auch abschätzen und komm auch
> [mm]\integral_{0}^{1}{1/(1+x^6) dx} \le \integral_{0}^{1}{1/x^6 dx}[/mm]
Nä, die Abschätzung gilt nur für [mm] $x\ge [/mm] 1$, daher auch die Aufteilung in die beiden Integrale ...
Da musst du dir für den Bereich zw. 0 und 1 was anderes einfallen lassen ...
>
> mit der stammfkt [mm]-1/5x^5[/mm] was aber wieder einer divergenten
> ausdruck ergibt.
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Mi 29.04.2009 | | Autor: | reason |
stimmt..da hab ich wohl grad ein wenig grips in der küche liegen lassen.
klar ergibt der zweite teil 1/5.
für den ersten ist x immer kleiner gleich 1. womit sich sagen lässt (?) das
[mm] \integral_{0}^{1}{1/(1+x^6) dx} \le \integral_{0}^{1}{1/(1+1) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{1/2 dx}=x/2 [/mm] was schließlich 1/2 und zusammen mit teil zwei 7/10 ergibt
kann das sein?
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Hallo reason,
> hallöle
> ich hab ne kleine frage zur diskussion der konvergenz
> eines integrals.
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{(1/1+x^6) dx}[/mm]
> ich weiß schon
> mal was dabei rauskommen soll und das ist 3pi/2
> aber ich hab keinen plan wie sich der ausdruck im integral
> umformen läßt.
> klar ist schon mal, dass es sich um eine gerade funktion
> handelt womit sich schreiben lässt:
> [mm]2*\integral_{0}^{\infty}{(1/1+x^6) dx}[/mm]
Das ist schonmal gut!
> mir fällt nur kein
> ausdruck ein, der für den grenzwert gegen null bzw
> unendlich pi/3 ergibt.
Du musst ja auch nicht den exakten Wert, sondern "nur" die Konvergenz dieses Integrals angeben
> kann mir da jemand einen tip geben.
Teile mal [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{1}{1+x^6} \ dx}$ [/mm] auf in [mm] $\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^6} \ dx}+\int\limits_1^{\infty}{\frac{1}{1+x^6} \ dx}$
[/mm]
Das hintere kannst du nach oben abschätzen durch [mm] $\le\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^6} \ dx}=\lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_1^{M}{\frac{1}{x^6} \ dx}$
[/mm]
Rechne das mal aus, das gibt einen endlichen Wert, wenn ich das so auf die Schnelle überblicke
Für den ersten Teil, also [mm] $\int\limits_{0}^1{\frac{1}{1+x^6} \ dx}$ [/mm] überlege du dir was 
> das von mathematica berechnete integral ist ziemlich
> heftig, womit sich also die idee, das integral einfach zu
> berechnen und dann die grenzwerte zu betrachten schon mal
> kicken lässt.
> danke für die mühe und übrigends
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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