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Forum "Integrationstheorie" - Konvergenz uneigentl. Integral
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Konvergenz uneigentl. Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Mo 18.06.2012
Autor: Peao

Aufgabe
Konvergiert [mm] \integral_{-\pi/2}^{0}{\bruch{(cos(x)sin(x))^{2}}{x^{2}} dx} [/mm]

Hallo!

ich habe hier zunächst den Zähler mit der binomischen Formel umgeformt:

1-2sin(x)cos(x) Das wird maximal 2.

Habe nun versucht eine integrierbare Majorante zufinden, allerdings stört das [mm] x^{2} [/mm] im Nenner. Ich finde keine Möglichkeit die Nullstelle zu umgehen.

Hat jemand einen Tip, wie ich hier ansetzen kann?

        
Bezug
Konvergenz uneigentl. Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Mo 18.06.2012
Autor: Leopold_Gast

Das Integral ist im engeren Sinn gar nicht uneigentlich. Bekanntermaßen ist [mm]\frac{\sin x}{x}[/mm] bei [mm]x=0[/mm] mit dem Wert 1 stetig ergänzbar. Und wenn man quadriert ...

Bezug
                
Bezug
Konvergenz uneigentl. Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:33 Mo 18.06.2012
Autor: Peao


> Das Integral ist im engeren Sinn gar nicht uneigentlich.
> Bekanntermaßen ist [mm]\frac{\sin x}{x}[/mm] bei [mm]x=0[/mm] mit dem Wert 1
> stetig ergänzbar. Und wenn man quadriert ...

Leider sehe ich hier nicht, wie mich das weiterbringen könnte. Das man das stetig ergänzen kann, ist mir klar.

Das so das Integral von [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm]  berechnet werden kann, da der Flächeninhalt endlich wird leuchtet mir auch ein. Nur hätte ich schon Probleme [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] zu integrieren.

Und wie mich das auf eine Lösung für meine Aufgabe bringt, erschließt sich mir auch noch nicht.

Gruß



Bezug
                        
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Konvergenz uneigentl. Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Mo 18.06.2012
Autor: Leopold_Gast

Die Aufgabe ist bereits gelöst. Da der Integrand (mit der stetigen Ergänzung) stetig ist, existiert das Integral. Das war's.

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz uneigentl. Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Mo 18.06.2012
Autor: Peao

Danke!
So habe ich das noch gar nicht betrachtet, dass man einfach die Stetigkeit des Integranden zeigt und nicht eine Grenzwertbetrachtung anstellt....

Gruß

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