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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachfolgenden Reihen auf Konvergenz, und bestimmen Sie wenn vorhanden, deren Summen.
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1+(-1)^{n}}{2^{n}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n}}{n^{2008}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n}-2^{n}}{2^{2n}} [/mm] |
Zu a) Diese Folge hat zwei Grenzwerte die nicht überschritten werden. Für alle ungeraden n gilt: [mm] \bruch{1+(-1)^{n}}{2^{n}}= [/mm] 2 und für alle geraden n gilt: [mm] \bruch{1+(-1)^{n}}{2^{n}}=0
[/mm]
Das bedeutet für mich, dass diese Folge nicht konvergiert, da sie zwischen diesen beiden Werten hin- und herspringt. Sie ist divergent.
zu b) da kann man nicht mal eine Testeinsetzung machen, da der Taschenrechner dort schon seine Grenze hat, Ich kann nur vermuten das diese Folge gegen 0 konvergiert (Nullfolge), da der Nenner immer größer sein wird als der Zähler.
Kann man das irgendwie noch genauer machen?
zu c) ist meines Erachtens ebenfalls Nullfolge
Kann mir bei der Gelegenheit nochmal jemand den Einsatz von [mm] \varepsilon [/mm] erklären? Da fehlt mir noch der Durchblick, das ist enorm abstrakt (für mich). Danke
Und große (vermutlich dumme Frage) wie genau funktioniert das Bestimmen der Summe? Vor allem da alle Folgen bis [mm] \infty [/mm] gehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo anjali!
Das Grenzwertverhalten von [mm] $a_n$ [/mm] als Nullfolge in der Reihe [mm] $\summe_{n}^{\infty}a_n$ [/mm] ist ja nur ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe. Daraus folgt also noch nicht die Konvergenz der Reihe.
Zerlege diese Reihe analog zu Aufgabe a.) und wende wiederum die Formel für geometrische Reihen an.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Do 01.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo anjali!
> Kann mir bei der Gelegenheit nochmal jemand den Einsatz von
> [mm]\varepsilon[/mm] erklären? Da fehlt mir noch der Durchblick, das
> ist enorm abstrakt (für mich). Danke
Zum einen solltest Du hier nochmal kurz erläutern, was Dir genau unklar ist.
Zum anderen ist das m.E. eine völlig unabhängige Frage, so dass Du dafür bitte einen eigenständigen Thread eröffnest. Denn hier scheint es sich um eine Frage zur Folgenkonvergenz zu handeln.
Gruß
Loddar
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Da solltest Du nochmal drüber nachdenken. Das stimmt so nicht.
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