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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Konvergenz und Grenzwerte
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Konvergenz und Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Mo 12.11.2012
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Weisen Sie die Konvergenz der folgenden Folge nach und berechnen Sie deren Grenzwert:

[mm]a_0 := \alpha, \qquad a_1 := \beta, \qquad a_{n+1} := \bruch{1}{2}(a_n + a_{n-1}) \qquad (n \geq 1)[/mm]

wobei [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm] zwei fest gewählte reellle Zahlen sind.



Zusätzlich zur Aufgabe habe ich den Tipp bekommen, dass zuerst die Gültigkeit der folgenden Formel gezeigt werden sollte:

[mm]a_n = \bruch{1}{3}(\alpha + 2\beta) + \bruch{2}{3}(\alpha - \beta) * \bruch{(-1)^n}{2^n}[/mm]

Mein Vorhaben ist nun:
Ich schließe per vollständiger Induktion von [mm]a_n \to a_{n+1}[/mm] um [mm]a_{n}[/mm] zu zeigen. Dann zeige ich den Grenzwert von [mm]a_{n+1}[/mm] . Dann zeige ich die Monotonie der Folge und somit letztendlich deren Konvergenz.


Induktionsschritt (IA und IV spare ich mir hier jetzt mal)
[mm]n \to n+1[/mm]

[mm]a_{n+1} = \bruch{1}{3}(\alpha + 2\beta) + \bruch{2}{3}(\alpha - \beta) * \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm]

[mm]a_{n+1} = \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \left ( \bruch{2}{3}\alpha - \bruch{2}{3}\beta \right ) * \left (-\bruch{1}{2} \right ) ^{n+1}[/mm]

Jetzt muss dies ja gleich dem [mm]a_{n+1}[/mm] aus der Aufgabenstellung sein. Also setze ich [mm]a_{n}[/mm] in das in der Aufgabenstellung gegebene [mm]a_{n+1}[/mm] ein um die Gleichheit zu prüfen:

[mm]a_{n+1} = \bruch{1}{2} \left ( \left ( \bruch{1}{3} \left ( \alpha + 2\beta \right ) + \bruch{2}{3} \left ( \alpha - \beta \right ) * \bruch{(-1)^n}{2^n} \right ) + \left ( \bruch{1}{3} \left ( \alpha + 2\beta \right ) + \bruch{2}{3} \left ( \alpha - \beta \right ) * \bruch{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \right ) \right )[/mm]

[mm]= \bruch{1}{2} \left ( \bruch{1}{3} \alpha + \bruch{2}{3} \beta + \left ( \bruch{2}{3} \alpha - \bruch{2}{3} \beta \right ) *\left (- \bruch{1}{2}\right )^n + \bruch{1}{3} \alpha + \bruch{2}{3} \beta + \left ( \bruch{2}{3} \alpha - \bruch{2}{3} \beta \right ) *\left (- \bruch{1}{2}\right )^{n-1} \right )[/mm]

[mm]= \bruch{1}{2} \left ( \bruch{2}{3} \alpha + \bruch{4}{3} \beta + \left ( \bruch{2}{3} \alpha - \bruch{2}{3} \beta \right ) *\left (- \bruch{1}{2}\right )^n + \left ( \bruch{2}{3} \alpha - \bruch{2}{3} \beta \right ) *\left (- \bruch{1}{2}\right )^{n-1} \right )[/mm]

Wie geht's jetzt hier mit der Umformung (innerhalb der äußersten Klammer) weiter? Ich krieg's einfach nicht auf die Reihe …


        
Bezug
Konvergenz und Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Di 13.11.2012
Autor: fred97


> Weisen Sie die Konvergenz der folgenden Folge nach und
> berechnen Sie deren Grenzwert:
>  
> [mm]a_0 := \alpha, \qquad a_1 := \beta, \qquad a_{n+1} := \bruch{1}{2}(a_n + a_{n-1}) \qquad (n \geq 1)[/mm]
>  
> wobei [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm] zwei fest gewählte reellle
> Zahlen sind.
>  
>
> Zusätzlich zur Aufgabe habe ich den Tipp bekommen, dass
> zuerst die Gültigkeit der folgenden Formel gezeigt werden
> sollte:
>  
> [mm]a_n = \bruch{1}{3}(\alpha + 2\beta) + \bruch{2}{3}(\alpha - \beta) * \bruch{(-1)^n}{2^n}[/mm]
>  
> Mein Vorhaben ist nun:
>  Ich schließe per vollständiger Induktion von [mm]a_n \to a_{n+1}[/mm]
> um [mm]a_{n}[/mm] zu zeigen. Dann zeige ich den Grenzwert von
> [mm]a_{n+1}[/mm] . Dann zeige ich die Monotonie der Folge und somit
> letztendlich deren Konvergenz.
>  
>
> Induktionsschritt (IA und IV spare ich mir hier jetzt mal)
>  [mm]n \to n+1[/mm]
>  
> [mm]a_{n+1} = \bruch{1}{3}(\alpha + 2\beta) + \bruch{2}{3}(\alpha - \beta) * \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm]
>  
> [mm]a_{n+1} = \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \left ( \bruch{2}{3}\alpha - \bruch{2}{3}\beta \right ) * \left (-\bruch{1}{2} \right ) ^{n+1}[/mm]
>  
> Jetzt muss dies ja gleich dem [mm]a_{n+1}[/mm] aus der
> Aufgabenstellung sein. Also setze ich [mm]a_{n}[/mm] in das in der
> Aufgabenstellung gegebene [mm]a_{n+1}[/mm] ein um die Gleichheit zu
> prüfen:
>  
> [mm]a_{n+1} = \bruch{1}{2} \left ( \left ( \bruch{1}{3} \left ( \alpha + 2\beta \right ) + \bruch{2}{3} \left ( \alpha - \beta \right ) * \bruch{(-1)^n}{2^n} \right ) + \left ( \bruch{1}{3} \left ( \alpha + 2\beta \right ) + \bruch{2}{3} \left ( \alpha - \beta \right ) * \bruch{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \right ) \right )[/mm]
>  
> [mm]= \bruch{1}{2} \left ( \bruch{1}{3} \alpha + \bruch{2}{3} \beta + \left ( \bruch{2}{3} \alpha - \bruch{2}{3} \beta \right ) *\left (- \bruch{1}{2}\right )^n + \bruch{1}{3} \alpha + \bruch{2}{3} \beta + \left ( \bruch{2}{3} \alpha - \bruch{2}{3} \beta \right ) *\left (- \bruch{1}{2}\right )^{n-1} \right )[/mm]
>  
> [mm]= \bruch{1}{2} \left ( \bruch{2}{3} \alpha + \bruch{4}{3} \beta + \left ( \bruch{2}{3} \alpha - \bruch{2}{3} \beta \right ) *\left (- \bruch{1}{2}\right )^n + \left ( \bruch{2}{3} \alpha - \bruch{2}{3} \beta \right ) *\left (- \bruch{1}{2}\right )^{n-1} \right )[/mm]
>  
> Wie geht's jetzt hier mit der Umformung (innerhalb der
> äußersten Klammer) weiter? Ich krieg's einfach nicht auf
> die Reihe …
>  


Ich rate Dir folgendes: setze von Anfang an  [mm] a:=\bruch{1}{3}(\alpha [/mm] + [mm] 2\beta) [/mm] und b:= [mm] \bruch{2}{3}(\alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm]

Dann wird die ganze Rechnerei sehr übersichtlich.

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergenz und Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Di 13.11.2012
Autor: Apfelchips

Hallo Fred,

> Ich rate Dir folgendes: setze von Anfang an  
> [mm]a:=\bruch{1}{3}(\alpha[/mm] + [mm]2\beta)[/mm] und b:=
> [mm]\bruch{2}{3}(\alpha[/mm] - [mm]\beta)[/mm]
>
> Dann wird die ganze Rechnerei sehr übersichtlich.

das ist eine gute Idee. Ich erhalte dann nach einigem Umformen:

[mm]a_{n+1} = \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \left ( \bruch{1}{3}\alpha - \bruch{1}{3}\beta \right )\left ( -\bruch{1}{2} \right )^n + \left ( \bruch{1}{3}\alpha - \bruch{1}{3}\beta \right )\left ( -\bruch{1}{2} \right )^{n-1}[/mm]

Das ist offensichtlich dasselbe wie

[mm]a_{n+1} = \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \left ( \bruch{2}{3}\alpha - \bruch{2}{3}\beta \right ) \left (- \bruch{1}{2} \right )^{n+1}[/mm]

(Ich weiß, dass das so ist – aber nicht, warum: Welcher Unformungsschritt fehlt hier zwischen noch?)


Also gilt für den Grenzwert:

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \underbrace{\left ( \bruch{2}{3}\alpha - \bruch{2}{3}\beta \right )\left (- \bruch{1}{2} \right )^{n+1}}_{\mbox{Nullfolge, da } \limes_{n\rightarrow\infty} \left (- \bruch{1}{2} \right )^{n+1} = 0} = \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta[/mm]


Monotonie:

[mm]a_{n+1} < a_n[/mm]

[mm]\bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \left ( \bruch{2}{3}\alpha - \bruch{2}{3}\beta \right ) \left (- \bruch{1}{2} \right )^{n+1} < \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \left ( \bruch{2}{3}\alpha - \bruch{2}{3}\beta \right ) \left (- \bruch{1}{2} \right )^{n}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \left ( \bruch{2}{3}\alpha - \bruch{2}{3}\beta \right ) \left (- \bruch{1}{2} \right )^{n} \left (- \bruch{1}{2} \right ) < \bruch{1}{3}\alpha + \bruch{2}{3}\beta + \left ( \bruch{2}{3}\alpha - \bruch{2}{3}\beta \right ) \left (- \bruch{1}{2} \right )^{n}[/mm]

Auf der linken Seite der Ungleichung taucht mit [mm]\left (- \bruch{1}{2} \right )[/mm] ein zusätzlicher, konstant negativer Faktor auf. Dadurch ist die Ungleichung stets wahr.


Stimmt das so?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz und Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mi 14.11.2012
Autor: leduart

Hallo
für das erste Problem  klammer hinten [mm] (-1/2)^{-1} [/mm] aus.
2, keine Monotonie. setz in deiner Beh mal n gerade, mal ungerade ein .schreib besser [mm] (-1)^n*1/2^n [/mm] dann wird dein Fehler klarer!
du hast eine alternierende Folge!

Gruss leduart

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