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| Aufgabe | Untersuchen Sie fogenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen sie den Grenzwert.
a) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^n} + \bruch{1}{n(n+1)} [/mm]
b) [mm] 9/10*\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{10^n} [/mm] |
Also meine Überlegungen:
a) Ich hab erstmal mit n(n+1) multipliziert. Dann steht da.
[mm] \bruch{n(n+1)}{3^n}+n(n+1) [/mm]
Der vordere Bruch strebt gegen null weil [mm] 3^n [/mm] viel schneller wächst. Als strebt der ganze Term gegen [mm] +\infty. [/mm] Nicht konvergent
b) Zuerst hab ich 9/10 in die summe gezogen. Dann steht hinter dem Summen zeichen [mm] 9/10 * 1/10^n[/mm]. Ist das dann gleich: [mm] 9/10^(n+1) [/mm]? Also strebt der term gegen null. Konvergent gegen null.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Untersuchen Sie fogenden Reihen auf Konvergenz und
> bestimmen sie den Grenzwert.
>
> a) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^n} + \bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
>
> b) [mm]9/10*\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{10^n}[/mm]
> Also meine
> Überlegungen:
>
> a) Ich hab erstmal mit n(n+1) multipliziert. Dann steht
> da.
>
> [mm]\bruch{n(n+1)}{3^n}+n(n+1)[/mm]
>
> Der vordere Bruch strebt gegen null weil [mm]3^n[/mm] viel schneller
> wächst. Als strebt der ganze Term gegen [mm]+\infty.[/mm] Nicht
> konvergent
Das ist Quark.
Das notwendige Kriterium einer Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] (a_n)_{n\in\IN}, a_n\in\IC [/mm] ist gegeben, wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
Ihr hattet doch sicher Konvergenzkriterien eingeführt.
Benutze diese!
>
> b) Zuerst hab ich 9/10 in die summe gezogen. Dann steht
> hinter dem Summen zeichen [mm]9/10 * 1/10^n[/mm]. Ist das dann
> gleich: [mm]9/10^(n+1) [/mm]? Also strebt der term gegen null.
> Konvergent gegen null.
Das Reinziehen bringt dir nichts.
Tipp: [mm] \frac{1}{10^n}=(\frac{1}{10})^n [/mm] und weiter mit der geometrischen Reihe.
Gruß
DieAcht
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Hallo bavarian,
nochmal zu Aufgabe a). Das ist wirklich Quatsch, was Du da machst.
> Untersuchen Sie fogenden Reihen auf Konvergenz und
> bestimmen sie den Grenzwert.
>
> a) [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{3^n} + \bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
>
> a) Ich hab erstmal mit n(n+1) multipliziert. Dann steht
> da.
>
> [mm]\bruch{n(n+1)}{3^n}+n(n+1)[/mm]
Das steht da nicht. Was soll es außerdem aussagen, wenn Du eine Reihe nicht mit einem festen Wert, sondern mit einer Laufvariablen multiplizierst? Damit kriegt man jede Reihe irgendwie divergent, auch wenn sie es vorher nicht war.
> Der vordere Bruch strebt gegen null weil [mm]3^n[/mm] viel schneller
> wächst.
Na und? Dieser Teil stellt also eine Nullfolge dar. Das sagt noch nichts über die Reihe aus.
> Als strebt der ganze Term gegen [mm]+\infty.[/mm] Nicht
> konvergent
Nee, Unsinn.
Was Dir aber weiterhelfen kann, sind diese beide Tipps:
1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{3^n}+\bruch{1}{n(n+1)}\right)=\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n}\right)\;\;+\;\;\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)}\right)
[/mm]
2) [mm] \bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1} \cdots\quad [/mm] Teleskopsumme!
Grüße
reverend
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Teleskopsumme
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