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Forum "Schul-Analysis" - Konvergenz und Grenzwert
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Konvergenz und Grenzwert: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Fr 06.05.2005
Autor: jannie

Hi,

Ich hänge momentan an folgender Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folge [mm] (a_{n)n\in \IN} [/mm] auf Konvergenz und geben Sie ggf. ihren Grenzwert an:

1. [mm] \bruch{n^2+(n^3/2+1)^2}{(2\wurzel{n})^6-32n^3+1} [/mm]

2. [mm] (-1)^n*\bruch{2n+3}{n+1}-\bruch{n}{3n+2} [/mm]

3.  [mm] \wurzel[n]{a^n+b^n}, [/mm] 0<a<b

Kann mir da jemand vielleicht eine Beispiellösung geben, nach der ich die Aufgaben bearbeiten kann?
Danke.

P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Fr 06.05.2005
Autor: nobsy

Bei Aufgabe 1 geeignet erweitern, dabei die 3. binomische Formel (a-b)(a+b) verwenden, also hier mit (a+b) erweitern. Dabei fällt die Wurzel weg. Im dann entstehenden Ausdruck abschätzen.

Bei Aufgabe 2 liegt keine Konvergenz vor. In jedem der beiden Brüche jeweils im Zähler und Nenner die höchste Potenz von n ausklammern, dann n kürzen und anschließend die Grenwertregeln anwenden.

Aufgabe 3: Im Moment noch keine Idee.
nobsy

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Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Fr 06.05.2005
Autor: informix

Hallo jannie und nobsy,
[willkommenmr]

Es wäre schön, wenn du in Zukunft ein paar Lösungsansätze mitliefern könntest.

>  
> Ich hänge momentan an folgender Aufgabe:
>  
> Untersuchen Sie die Folge [mm](a_{n})n\in \IN[/mm] auf Konvergenz
> und geben Sie ggf. ihren Grenzwert an:
>  
> 1. [mm]\bruch{n^2+(n^3/2+1)^2}{(2\wurzel{n})^6-32n^3+1}[/mm]
>  
> 2. [mm](-1)^n*\bruch{2n+3}{n+1}-\bruch{n}{3n+2}[/mm]
>  
> 3.  [mm]\wurzel[n]{a^n+b^n},[/mm] 0<a<b
>  
> Kann mir da jemand vielleicht eine Beispiellösung geben,
> nach der ich die Aufgaben bearbeiten kann?

> Bei Aufgabe 1 geeignet erweitern, dabei die 3. binomische Formel (a-b)(a+b) verwenden, also hier mit (a+b) erweitern.
> Dabei  fällt die Wurzel weg. Im dann entstehenden Ausdruck abschätzen.

Aufgabe 1:
Warum so kompliziert?
Man könnte erst einmal ausmultiplizieren, dann fällt im Nenner die Wurzel gleich weg:
1. [mm]\bruch{n^2+(n^3/2+1)^2}{(2\wurzel{n})^6-32n^3+1}[/mm]
[mm] $\Rightarrow \bruch{n^2+(\bruch{n^3}{2}+1)^2}{2^6*n^3 - 32n^3 +1}$ [/mm]
auch ohne weiter auszumultipizieren erkennt man, dass die Exponenten von n im Zähler größer sind als im Nenner
[mm] \Rightarrow [/mm] kein Grenzwert.

oder habe ich die Aufgabe falsch gelesen? weil du den Formeleditor nicht konsequent benutzt?!

[edit] ich kann keinen Fehler erkennen ... ;-)

Bezug
                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Sa 07.05.2005
Autor: frau-u

Zu 1.)
Wenn man den Term ausmultipliziert kommt man irgendwann zu
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2+n^3-2n^3/2+1}{64n^3-32n^2+1} [/mm]
und damit zum Grenzwert
1/(64-32) = 1/32
Ich bin kein Profi, aber deine Erklärung erscheint mir doch recht wenig mathematisch korrekt...


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Konvergenz und Grenzwert: versteh ich nicht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Sa 07.05.2005
Autor: informix

$ [mm] \bruch{n^2+(n^3/2+1)^2}{(2\wurzel{n})^6-32n^3+1} [/mm] $

Ich rechne gar nicht weiter, weil ich schon so erkennen kann, dass die höchste Potenz im Zähler 6 ist, im Nenner aber nur 3.
Damit strebt der ganze Bruch [mm] \rightarrow \infty. [/mm]

> Zu 1.)
>  Wenn man den Term ausmultipliziert kommt man irgendwann
> zu
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2+n^3-2n^3/2+1}{64n^3-32n^2+1}[/mm]
>  

das kann ich wiederum nicht nachvollziehen [verwirrt].
[mm] $(\bruch{n^3}{2}+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{n^6}{4} [/mm] + ...$ oder nicht?

> und damit zum Grenzwert
>  1/(64-32) = 1/32
>  Ich bin kein Profi, aber deine Erklärung erscheint mir
> doch recht wenig mathematisch korrekt...
>  

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Konvergenz und Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 So 08.05.2005
Autor: frau-u

Hmm, es ist wohl eine Interpretationsfrage, wie man das [mm] n^3/2 [/mm] interpretiert.
Ich hatte es als [mm] n^{3/2} [/mm] gelesen. Dann wäre die Aufgabe auch eigentlich sinnvoller. Oder nicht?

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Konvergenz und Grenzwert: traurig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:28 So 08.05.2005
Autor: informix


> Hmm, es ist wohl eine Interpretationsfrage, wie man das
> [mm]n^3/2[/mm] interpretiert.
>  Ich hatte es als [mm]n^{3/2}[/mm] gelesen. Dann wäre die Aufgabe
> auch eigentlich sinnvoller. Oder nicht?

.. es ist schon ein wenig frustrierend, wenn wir hier "stundenlang" diskutieren, aber die/der Fragesteller/in sich nicht mehr um die Aufgabe kümmert und die Fragen zur Aufgabenstellung klärt. Schade eigentlich. [traurig]

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Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Mo 09.05.2005
Autor: jannie

Es war so gemeint wie frau-u es geschrieben hat.

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Konvergenz und Grenzwert: Aufgabe 3
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 22:51 Fr 06.05.2005
Autor: Fabian

Hallo jannie,

Zur dritten Aufgabe würde mir folgendes einfallen:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a^{n}+b^{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}(a^{n}+b^{n})^{\bruch{1}{n}}=\limes_{k\rightarrow0}(\bruch{1}{k})^{k}=\limes_{k\rightarrow0}\bruch{1}{k^{k}}=\bruch{1}{0^{0}}=\bruch{1}{1}=1 [/mm]

[edit] Den einzigen Fehler den ich erkennen kann, ist das ich nicht bewiesen habe , dass der Ausdruck [mm] 0^{0}=1 [/mm] ist.

Deswegen setzt ich jetzt  [mm] exp(k):=e^{k} [/mm]

[mm] \limes_{k\rightarrow0}k^{k}=\limes_{k\rightarrow0}e^{k*ln(k)}=\limes_{k\rightarrow0}exp(k*ln(k)=exp(\limes_{k\rightarrow0}k*ln(k)=e^{0}=1 [/mm]

und

[mm] \limes_{k\rightarrow0}k*ln(k)=\limes_{k\rightarrow0}\bruch{lnx}{\bruch{1}{x}}=\limes_{k\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{k}}{-\bruch{1}{k^{2}}}=\limes_{k\rightarrow0}(-x)=0 [/mm]

Das müßte man natürlich noch in die Rechnung einbauen!


Gruß Fabian

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Konvergenz und Grenzwert: A3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Sa 07.05.2005
Autor: Teletubyyy

Hallo jannie,

0<a<b
[mm] $(a_n)=\wurzel[n]{a^n+b^n}$ [/mm] Ich definiere [mm]c_n:=\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm]

Man erhällt nun: [mm]c_n^n=a^n+b^n \gdw \frac{c_n^n}{b^n}=\frac{a^n}{b^n}+1 \rightarrow 1[/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm]

Es gilt folglich:  [mm] $c_n^n \rightarrow b^n [/mm] $ (insbesondere damit auch [mm]c_n \rightarrow b [/mm] ) für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm]

Für die Folge [mm] (a_n) [/mm] bedeutet das nun:
[mm](a_n)=\wurzel[n]{a^n+b^n}= \wurzel[n]{c_n^n} \rightarrow \wurzel[n]{b^n}=b[/mm] für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm]

oder anders ausgedrückt:

$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n)=b$ [/mm]

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das jetzt mathematisch 100% richtig formuliert ist. (Das Ergebniss dürfte aber auf jeden Fall stimmen)


Gruß Samuel

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Konvergenz und Grenzwert: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:06 So 08.05.2005
Autor: Fabian

Hallo Samuel

> Hallo jannie,
>  
> 0<a<b
>  [mm](a_n)=\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm] Ich definiere
> [mm]c_n:=\wurzel[n]{a^n+b^n}[/mm]
>  
> Man erhällt nun: [mm]c_n^n=a^n+b^n \gdw \frac{c_n^n}{b^n}=\frac{a^n}{b^n}+1 \rightarrow 1[/mm]
> für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]

Das versteh ich nicht! [haee] Wie kommst du darauf das der Ausdruck gegen 1 strebt? Also ich erhalte hier einen unbestimmten Ausdruck:  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{n}}{b^{n}}=\bruch{\infty}{\infty} [/mm]

Du hast bestimmt ausgenutzt , dass [mm] b^{n} [/mm] schneller steigt als [mm] a^{n} [/mm] , weil 0<a<b , aber ich bin mir hier nicht sicher , ob man den unbestimmten Ausdruck einfach so übergehen darf!

>  
> Es gilt folglich:  [mm]c_n^n \rightarrow b^n[/mm] (insbesondere
> damit auch [mm]c_n \rightarrow b[/mm] ) für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]

Und hier vesteht ich auch nur noch [bahnhof]!

> Für die Folge [mm](a_n)[/mm] bedeutet das nun:
>  [mm](a_n)=\wurzel[n]{a^n+b^n}= \wurzel[n]{c_n^n} \rightarrow \wurzel[n]{b^n}=b[/mm]
> für [mm]n \rightarrow \infty[/mm]
>  
> oder anders ausgedrückt:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n)=b[/mm]
>  

Könntest du mir deine Antwort vielleicht ein wenig erklären. Und könntest du mir auch erklären , warum meine Antwort falsch ist. Ich habe sie noch ein wenig überarbeitet. Aber ich finde sie eigentlich richtig!

Gruß Fabian

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Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 So 08.05.2005
Autor: Max

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Fabian,

Wegen $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$ und $q=\frac{a}{b}<1$ ist der Grenzwert 1. Das du die Darstellung, die dir "$\frac{\infty}{\infty}$" liefert übergehst ist okay, denn bei $\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$ machst du das doch auch. Die Umformung ist ja für alle natürlichen Zahlen richtig!

Ich denke bei dir ist der Schritt von $\lim_{n \to \infty}\left( a^n +b^n\right)^{\frac{1}{n}$ zu  $\lim_{k\to 0}\left(\frac{1}{k}\right)^k$ nicht richtig. Du kannst nicht einfach irgendeinen Grenzprozess durch einen anderen ersetzten.

Deine Umformung ist offensichtlich falsch, weil der Grenzwert $1$ für beliebige $a,b$ nicht richtig ist.

Ein Gegenbeispiel: Wähle $a=1$ und $b=4$. Wegen $\sqrt[n]{a^n+b^n}=\sqrt[n]{1+4^n}>\sqrt[n]{4^n}=4>1$ muss der Grenzwert der Folge größer $1$ sein.

Gruß Max

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Konvergenz und Grenzwert: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 So 08.05.2005
Autor: Fabian

Hallo Max

Da hab ich dann mal wieder was Neues gelernt! ;-)

Aus Fehlern lernt man eben am Besten!

@ Samuel: [sorry] das ich deine Antwort angezweifelt habe! Hab sie mir gleich ausgedruckt , damit ich so einen Fehler nicht noch einmal mache!

Gruß Fabian

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