Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:19 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Studentin87 |
Ich kenne die Definition zur Konvergenz,allerdings habe ich bei Übungsaufgaben meine Schwierigkeiten. Wenn man z.B. beweisen soll,dass eine Folge konvergent ist...wie gehe ich da vor?? Kann mir jemand so ne Art Anleitung dafür geben? Oder wie berechne ich den Grenzwert?
Wäre sehr dankbar,wenn mir jemand helfen könnte,denn ich bin im Moment sehr verzweifelt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Studentin!
Da gibt es leider keine Pauschallösung, die sich auf alle Aufgaben anwenden lässt.
Bitte poste doch mal ein / zwei Aufgaben, mit denen Du Probleme hast.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Es seien [mm] a\ge0, b\ge0 [/mm] gegebene reelle Zahlen. Die Zahlenfolgen [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] seien induktiv definiert durch [mm] a_{1}:=a, b_{1}:=b, a_{n+1}:=\wurzel{a_{n}b_{n}}, b_{n+1}:=\bruch{1}{2}(a_{n}+b_{n})
[/mm]
Zeigen Sie,dass beide Folgen konvergent sind und den gleichen Grenzwert haben. |
Ich soll ja hier erstmal zeigen,dass beide Folgen konvergent sind. Leider weiß ich gar nicht wie ich das machen soll!
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> Es seien [mm]a\ge0, b\ge0[/mm] gegebene reelle Zahlen. Die
> Zahlenfolgen [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] seien induktiv definiert
> durch [mm]a_{1}:=a, b_{1}:=b, a_{n+1}:=\wurzel{a_{n}b_{n}}, b_{n+1}:=\bruch{1}{2}(a_{n}+b_{n})[/mm]
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> Zeigen Sie,dass beide Folgen konvergent sind und den
> gleichen Grenzwert haben.
> Ich soll ja hier erstmal zeigen,dass beide Folgen
> konvergent sind. Leider weiß ich gar nicht wie ich das
> machen soll!
Hallo,
wenn ich solche Aufgaben sehe, mache ich immer gerne erstmal ein Experiment, nehme mir zwei Startwerte und rechne mal ein paar Folgenwerte aus, um mich auf Ideen zu bringen, was man zu zeigen versuchen könnte.
Ich würde immer schauen, ob man etwas machen kann mit monoton und beschränkt, denn daraus folgt ja die Konvergenz.
Hier kannst Du zeigen, daß für jedes n>1 [mm] a_n
Weiter kannst Du zeigen, daß [mm] (a_n) [/mm] wächst und [mm] (b_n) [/mm] fällt.
Damit solltest Du dann auch obere und untere Schranken haben, also Konvergenz.
Daß der Grenzwert beider Folgen gleich sein muß ergibt sich dann aus der Rekursion.
Gruß v. Angela
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Wie kann ich denn zeigen,dass [mm] a_{n} \le b_{n} [/mm] für alle [mm] n\ge2 [/mm] ?
Muss ich dafür [mm] a_{n+1}:=\wurzel{a_{n}b_{n}} [/mm] nach [mm] a_{n} [/mm] umformen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zeig allgemein [mm] \wurzel{ab}\le [/mm] (a+b)/2
Geometrisches Mittel < arithmetisches Mittel
Gruss leduart
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