Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Do 25.05.2006 | | Autor: | svensven |
| Aufgabe 1 | [mm] \summe_{k=2}^{oo}\bruch{(3+i)^{k-1}}{4^k}+\bruch{(-1)^k}{3^{2k}}
[/mm]
Prüfen Sie auf Konvergenz und ermitteln Sie ggf. den Grenzwert |
| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{k=1}^{oo}\bruch{1}{k*(k+1)*(k+2)} [/mm] |
Hallo, wie bekomme ich den Grenzwert der beiden Aufgaben raus?
Bei der zweiten Aufgabe müsste er 1/4 betragen. Jede Hilfe herzlich willkommen. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo svensven!
Die erste Aufgabe kannst Du mit wenigen Umformungen in zwei einzelne geometrische Reihen zerlegen, deren Grenzwert bekanntermaßen lautet für $|q| \ < \ 1$ : [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}q^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q}$
[/mm]
[mm]\summe_{k=2}^{\infty}\left[\bruch{(3+i)^{k-1}}{4^k}+\bruch{(-1)^k}{3^{2k}}\right] \ = \ \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(3+i)^{k-1}}{4^k}+\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{3^{2k}} \ = \ \bruch{1}{3+i}*\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(3+i)^{k}}{4^k}+\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{9^k}\ = \ \bruch{1}{3+i}*\summe_{k=2}^{\infty}\left(\bruch{3+i}{4}\right)^k+\summe_{k=2}^{\infty}\left(-\bruch{1}{9}\right)^k \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo svensven,
> [mm]\summe_{k=1}^{oo}\bruch{1}{k*(k+1)*(k+2)}[/mm]
Diese Summe kannst Du folgendermaßen zerlegen:
[mm]\summe_{k=1}^{oo}\bruch{1}{k*(k+1)*(k+2)}=\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{oo}\bruch{2+k-k}{k*(k+1)*(k+2)}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{oo}\bruch{1}{k*(k+1)}-\bruch{1}{(k+1)*(k+2)}[/mm]
Dies ist eine Teleskopsumme (höhere Glieder gleichen sich aus). Der Wert dieser Summe ist also [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathemaduenn!
Sehr schön ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ... ich habe die ganze Zeit versucht, diesen Bruch mittels Partialbruchzerlegung in drei Teilbrüche zu zerlegen, was nicht so recht zum Ziel geführt hat.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Mo 29.05.2006 | | Autor: | svensven |
Danke Loddar,
Danke mathemaduenn für eure hilfreichen Antworten.
Ich denke das hat mir die Augen geöffnet, manche Formeln in einfachere, zu zerlegen.
Echt klasse wie einem in diesem Forum geholfen wird.
Vielen Dank
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