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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mi 22.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}*\bruch{n+1^{n+1}}{n^{n+2}} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Aufgabe aus einem alten Klausurbeispiel und ich bin mir nicht zu hundert Prozent sicher wie ich das angehen muss um das auf Konvergenz zu untersuchen.
Da dies eine alternierende Reihe ist, muss ich das Leibnitz-Kriterium anwenden (denke ich mal), also muss ich schauen ob die Absolutbeträge der einzelnen Reihenglieder eine monoton fallende Folge (=Nullfolge) bilden oder?
Aber ist das dann schon alles das ich hier machen muss um dies auf Konvergenz zu studieren?
Bezüglich der absoluten Konvergenz -> eine alternierende Reihe kann ja NIE absolut konvergieren oder?
Vielen Dank schon mal für eure immer wieder kompetente hilfe!!!
lg markus
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Hallo Markus,
> Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz und absolute
> Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}*\bruch{n+1^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
Gemeint ist doch sicher [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}*\bruch{\red{(}n+1\red{)}^{n+1}}{n^{n+2}}[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe folgende Aufgabe aus einem alten Klausurbeispiel
> und ich bin mir nicht zu hundert Prozent sicher wie ich das
> angehen muss um das auf Konvergenz zu untersuchen.
>
> Da dies eine alternierende Reihe ist, muss ich das
> Leibnitz-Kriterium
Der gute Mann hieß aber Leibniz - ohne "t" !!
> anwenden (denke ich mal), ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") also muss ich
> schauen ob die Absolutbeträge der einzelnen Reihenglieder
> eine monoton fallende Folge (=Nullfolge) bilden oder?
Streiche die Klammer und das =
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n[/mm] konvergiert, wenn [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist ...
>
> Aber ist das dann schon alles das ich hier machen muss um
> dies auf Konvergenz zu studieren?
Jo
>
> Bezüglich der absoluten Konvergenz -> eine alternierende
> Reihe kann ja NIE absolut konvergieren oder?
Warum nicht?
Was ist etwa mit [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n^2}[/mm] ?
>
> Vielen Dank schon mal für eure immer wieder kompetente
> hilfe!!!
>
> lg markus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mi 22.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke vielmals fürs erste...
ok da mit der angabe hattest recht, hab die klammer vergessen, sry
hab mir eingebildet mal im skript irgendwas gelesen zu haben, dass eine alternierende reihe nicht absolut konvergieren kann, aber du hast mich gerade vom gegenteil überzeugt ;)
wie prüft man denn eine reihe auf absolute konvergenz?
lg markus
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Hallo nochmal,
> ok danke vielmals fürs erste...
>
> ok da mit der angabe hattest recht, hab die klammer
> vergessen, sry
>
> hab mir eingebildet mal im skript irgendwas gelesen zu
> haben, dass eine alternierende reihe nicht absolut
> konvergieren kann, aber du hast mich gerade vom gegenteil
> überzeugt ;)
>
> wie prüft man denn eine reihe auf absolute konvergenz?
Na, eine Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] heißt absolut konvergent, wenn [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_n|[/mm] konvergent ist.
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz, aber nicht umgekehrt, wie das Bsp. der alternierenden harmonischen Reihe zeigt:
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n}[/mm] ist konvergent, aber [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm] ist die harmonische Reihe, die hochgradig diverhent ist.
>
> lg markus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mi 22.06.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke, aber bin nun etwas verwirrt glaube ich....
also mit dem Leibniz-Kriterium kann ich nur absolute konvergenz nachweisen, oder wie?
und "normale" konvergenz müsste ich dann mit Quotienten-Kriterium oder so nachweisen odeR?
danke und lg
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Hallo nochmal,
> ok danke, aber bin nun etwas verwirrt glaube ich....
>
> also mit dem Leibniz-Kriterium kann ich nur absolute
> konvergenz nachweisen, oder wie?
Nein, "gewöhnliche" Konvergenz! Das zeigt doch das Bsp. der alternierenden harmonischen Reihe oben.
Mit Leibniz konvergiert [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n}$ [/mm] "gewöhnlich"
Aber absolut doch nicht, denn die Reihe der Beträge ist [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] die harmonische Reihe, also divergent!
>
> und "normale" konvergenz müsste ich dann mit
> Quotienten-Kriterium oder so nachweisen odeR?
Nein, das QK liefert doch direkt absolute Konvergenz!
>
> danke und lg
Gruß
schachuzipus
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