Konvergenz(radius) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mi 09.01.2008 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Konvergiert die Reihe? Falls ja, geben Sie den Konvergenzradius an.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a^{n^{2}}z^{n} [/mm] für [mm] a\in\IC [/mm] |
Hallo,
hab grade größere Probleme mit dem Thema Konvergenz,
und leider muss ich sagen mir geht nicht in den Kopf wie ich das bei komplexen Zahlen anpacken soll (bei reellen hab ich immerhin ein Gefühl dafür) ich kann eigtl gut mit komplexen zahlen umgehen, aber bei dieser Reihe weiß ich nicht, was ich jetzt tun soll. Könnt ihr mir helfen?
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> Konvergiert die Reihe? Falls ja, geben Sie den
> Konvergenzradius an.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a^{n^{2}}z^{n}[/mm] für [mm]a\in\IC[/mm]
> Hallo,
> hab grade größere Probleme mit dem Thema Konvergenz,
> und leider muss ich sagen mir geht nicht in den Kopf wie
> ich das bei komplexen Zahlen anpacken soll (bei reellen hab
> ich immerhin ein Gefühl dafür) ich kann eigtl gut mit
> komplexen zahlen umgehen, aber bei dieser Reihe weiß ich
> nicht, was ich jetzt tun soll. Könnt ihr mir helfen?
In Deinen Vorlesungsnotizen bzw. Deinem Lehrbuch solltest Du problemlos folgende Beziehung zur Bestimmung des Konvergenzradius $r$ dieser Potenzreihe finden. Es ist (in diesem Spezialfall):
[mm]r=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\big|a^{n^2}\big|}}=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}|a|^n}= \ldots [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mi 09.01.2008 | | Autor: | MattiJo |
dankeschön für deine schnelle hilfe!
bedeutet das, das der radius hier gegen unendlich geht, also sich auf die ganze komplexe ebene bezieht?
oder stimmt das gar nicht (der nenner wird doch unendlich)
falls nicht, wie komm ich jetzt am besten auf das supremum, um das auszurechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> dankeschön für deine schnelle hilfe!
> bedeutet das, das der radius hier gegen unendlich geht,
> also sich auf die ganze komplexe ebene bezieht?
> oder stimmt das gar nicht (der nenner wird doch
> unendlich)
>
> falls nicht, wie komm ich jetzt am besten auf das supremum,
> um das auszurechnen?
Hallo,
also erstmal:
Im Falle der Existenz des Limes gilt limes=limsup.
Nun guck' Dir das nochmal genau an:
[mm] $r=\frac{1}{limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a^{n^2}|}}=\frac{1}{limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a|^{n^2}}}=\frac{1}{limsup_{n \to \infty} |a|^{\frac{n^2}{n}}}=\frac{1}{limsup_{n \to \infty}{|a|^n}}$ [/mm]
Wenn [mm] $|a|^n \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$, [/mm] dann wäre übrigens $r [mm] \not= \infty$, [/mm] sondern $r=0$. Aber stimmt das wirklich, was Du da behauptest?
Betrachte mal die Spezialfälle:
[mm] $|a|=\frac{1}{2}$, [/mm] $|a|=1$ und $|a|=2$.
Wie sieht das jeweils mit [mm] $|a|^n$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] aus?
Und wenn Du Dir das klar gemacht hast:
Zunächst handele den trivialen Fall $a=0$ ab.
Danach unterscheide die Fälle:
1.) $0 < |a| < 1$
2.) $|a|=1$
3.) $|a| > 1$
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 09.01.2008 | | Autor: | MattiJo |
Okay, du hast natürlich Recht. Da war ein Denkfehler von mir, wenn a <1 ist geht es gegen Null, wenns eins ist bleibt es immer eins, und nur wenn a>1 geht es gegen unendlich.
>Und wenn Du Dir das klar gemacht hast:
>Zunächst handele den trivialen Fall a=0 ab.
>
hm, da hab ich jetzt das Problem, dass der Nenner Null wird.
Aber ich meine mich an die Vorlesung zu erinnern, dass es dann als Null definiert ist in diesem Fall. Oder verwechsel ich da was?
>Danach unterscheide die Fälle:
>1.) 0 < |a| < 1
der Nenner geht gegen Null, die Reihe geht gegen unendlich
>2.) |a|=1
die Reihe wird 1
>3.) |a| > 1
der Nenner geht gegen Unendlich, die Reihe geht gegen Null
Okay, ich glaube ich bin schon einen Schritt weiter,
aber weiß ich jetzt schon, obs konvergiert? Ich brauch ja noch den Radius oder?
(Tut mir leid, dass ich so schwer von begriff bin, das thema liegt mir nicht)
ich brauch ja noch ein n, damit ich den radius berechnen kann...
übr. danke nochmal fürs helfen =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, du hast natürlich Recht. Da war ein Denkfehler von
> mir, wenn a <1 ist geht es gegen Null,
Du meinst $|a| < 1$.
> wenns eins ist
Du meinst $|a|=1$.
> bleibt es immer eins, und nur wenn a>1 geht es gegen
> unendlich.
Auch hier: $|a| > 1$.
> >Und wenn Du Dir das klar gemacht hast:
> >Zunächst handele den trivialen Fall a=0 ab.
> >
>
> hm, da hab ich jetzt das Problem, dass der Nenner Null
> wird.
Man kann diesen Fall auch durchaus in den Fall $|a|<1$ miteinbeziehen, aber wenn ich mit das mal für $a=0$ angucke, so sehe ich
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a^{n^2} *z^n=0^0 *z^0 \equiv [/mm] 1$, d.h.
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a^{n^2} *z^n=1$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IC$, [/mm] also konvergiert die Reihe insbesondere auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] (sie ist konstant 1) und damit ist der Konvergenzradius [mm] $=\infty$.
[/mm]
(Beachte hier die Konvention: [mm] $0^0=1$.)
[/mm]
> Aber ich meine mich an die Vorlesung zu erinnern, dass es
> dann als Null definiert ist in diesem Fall. Oder verwechsel
> ich da was?
Ja, ich glaube, Du meintest hier die Konventionen:
[mm] $\frac{1}{0}:=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$, [/mm] was man hier wegen der sinnvollen Interpretation so macht 
>
> >Danach unterscheide die Fälle:
> >1.) 0 < |a| < 1
>
> der Nenner geht gegen Null, die Reihe geht gegen unendlich
Aufpassen mit der Sprache und nicht den Konvergenzradius mit der Reihe gleichsetzen. $r$ ist hier der Konvergenzradius der Reihe
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a^{n^2} z^n$
[/mm]
Bei $r$ gilt im Falle $0 < |a| < 1$:
Der Nenner strebt gegen 0, also insbesondere ist [mm] $lim_{n \to \infty} |a|^n=limsup_{n \to \infty} |a|^n=0$ [/mm] und damit der Konvergenzradius
[mm] $r=\frac{1}{0}=\infty$.
[/mm]
Die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a^{n^2} z^n$ [/mm] konvergiert also im Falle $0 < |a| < 1$ auf ganz [mm] $\IC$
[/mm]
(Weil sie das ja auch für $a=0$ getan hat, sieht man also, dass im Falle $|a| < 1$ die Reihe stets auf [mm] $\IC$ [/mm] konvergiert, also im Falle $0 [mm] \le [/mm] |a| < 1$ hat die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a^{n^2} z^n$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $\infty$.)
[/mm]
> >2.) |a|=1
>
> die Reihe wird 1
Nein, was Du hier wieder meinst (oder meinen solltes), ist im Falle $|a|=1$:
[mm] $1=lim_{n \to \infty} |a|^n=limsup_{n \to \infty} |a|^n$, [/mm] also
[mm] $r=\frac{1}{1}$
[/mm]
Damit konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a^{n^2} z^n$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z| < r=1$, sie divergiert für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z| > 1$. Auf $|z|=1$ läßt sich keine Aussage treffen (zumindest nicht mit Cauchy-Hadamard).
> >3.) |a| > 1
>
> der Nenner geht gegen Unendlich, die Reihe geht gegen Null
Auch hier wieder aufgepasst:
Du meinst [mm] $|a|^n \to \infty$ [/mm] liefert
[mm] $r=\frac{1}{limsup_{n \to \infty}|a|^n}=\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
Das heißt, die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a^{n^2} z^n$ [/mm] konvergiert für alle $|z| < 0$ (solche gibt es nicht) und sie divergiert für alle $|z| > 0$. Der Fall $|z|=0$ muss gesondert betrachtet werden:
Für z=0 ist aber
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a^{n^2} z^n=a^0 z^0=1$
[/mm]
Die Reihe konvergiert hier also genau in [mm] $z_0=0$, [/mm] der Konvergenzradius ist im Falle $|a| > 1$ aber dennoch natürlich $r=0$ wie oben gesehen.
> Okay, ich glaube ich bin schon einen Schritt weiter,
> aber weiß ich jetzt schon, obs konvergiert? Ich brauch ja
> noch den Radius oder?
Wie gesagt, der Radius ist ja hier einfach mit Cauchy-Hadamard
[mm] $r=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a|^n}$
[/mm]
Übrigens ist das ganze auch gar nicht so schwer. Denn Cauchy-Hadamard ist nichts anderes als das Wurzelkriterium angewendet auf Potenzreihen:
Wenn
[mm] $f(z)=\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ [/mm]
(ich nehme hier extra mal lieber [mm] $b_n$ [/mm] anstatt wie üblich [mm] $a_n$)
[/mm]
eine (formale) Potenzreihe ist, so konvergiert diese bekanntlich nach dem Wurzelkriterium jedenfalls, wenn
[mm] $limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|b_n z^n|} [/mm] < 1$
[mm] $\gdw$ $|z|*limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|} [/mm] < 1$
[mm] $\gdw$ [/mm] $|z| < [mm] \frac{1}{limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}} [/mm] $
und sie divergiert bekanntlich, wenn
[mm] $limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|b_n z^n|} [/mm] > 1$
[mm] $\gdw$ $|z|*limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|} [/mm] > 1$
[mm] $\gdw$ [/mm] $|z| > [mm] \frac{1}{limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}} [/mm] $
Setzt man also [mm] $R=\frac{1}{limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}}$, [/mm] so gilt dann jedenfalls, dass
[mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$
[/mm]
für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z| < R$ konvergiert und für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z|>R$ divergiert.
Bei Dir ist einfach [mm] $b_n=a^{n^2}$ [/mm] für beliebiges, aber festes $a [mm] \in \IC$. [/mm] Je nach $|a|$ ist der Konvergenzradius dann halt ein anderer...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> [mm]r=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\big|a^{2n}\big|}}=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}|a|^n}= \ldots[/mm]
Dort sollte natürlich:
[mm] $\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\big|a^{n^2}\big|}}=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}|a|^n}$
[/mm]
Also im Nenner links nicht $2n$, sondern [mm] $n^2$. [/mm] Ich hoffe, es war nur ein Schreibfehler, denn [mm] $a^{n^2}$ [/mm] ist was anderes wie [mm] $\left(a^n\right)^2$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:56 Do 10.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> > [mm]r=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\big|a^{2n}\big|}}=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}|a|^n}= \ldots[/mm]
>
> Dort sollte natürlich:
> [mm]\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\big|a^{n^2}\big|}}=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty}|a|^n}[/mm]
>
> Also im Nenner links nicht [mm]2n[/mm], sondern [mm]n^2[/mm]. Ich hoffe, es
> war nur ein Schreibfehler, denn [mm]a^{n^2}[/mm] ist was anderes wie
> [mm]\left(a^n\right)^2[/mm]
Hast natürlich recht: ich werde es gleich korrigieren - für den Fall, dass diese Antwort noch von anderen gelesen wird...
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