Konvergenz nach Leibniz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}(\wurzel{n+3} [/mm] - [mm] \wurzel{n+1})
[/mm]
Diese Reihe auf Konvergenz untersuchen. |
Hallo,
ich habe nach dem Leibniz-Kriterium(alternierend, monoton fallend, Nullfolge) nachgewiesen, dass diese Reihe konvergiert.
Aber da dies sehr viel Schreibaufwand ist, würde mich interessieren, ob es vielleicht noch eine elegantere und kürzere Lösung für diese Aufgabe gibt.
Hätte jemand eine Idee?
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Das Leibniz-Kriterium ist hier das richtige. Es geht auch mit geringem Aufwand, wenn man als Trick die binomische Formel verwendet:
[mm]a_n = \sqrt{n+3} - \sqrt{n+1} = \frac{(n+3) - (n+1)}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}} = \frac{2}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+1}}[/mm]
Und am letzten Ausdruck kann man alles ablesen: Wenn [mm]n[/mm] wächst, wächst auch der Nenner (Monotonie der Wurzelfunktion, Summe), also ist [mm](a_n)[/mm] streng monoton fallend, und zwar geht der Nenner gegen [mm]\infty[/mm], somit [mm]a_n \to 0[/mm]. Und das ist schon der vollständige Nachweis des Leibnizkriteriums.
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