Konvergenz (konstante Folge) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Sei [mm] (m_{n})^\infty_{n=1} [/mm] eine Folge natürliher Zahlen , die konvergent
(in [mm] \IC [/mm] ) ist. Beweisen Sie , dass [mm] (m_{n})^\infty_{n=1} [/mm] "fast konstant"
ist. d.h. : [mm] \exists [/mm] N [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] m_{n} [/mm] = [mm] m_{N} [/mm] |
Hi ,
mein abstrackter Gedanke jetzt , ch nehme an das sie nicht fast konstant ist. Dazu verneine ich erstmal :
[mm] \forall [/mm] N [mm] \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] m_{n} \not= m_{N}
[/mm]
und arbeite mich zu einem Wiederspruch vor
zunächst eine Frage : wie stelle ich mir die Konvergenz in [mm] \IC [/mm] vor
bzw wie verarbeite ich das ?
vielen Dank für einen tIP
dANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 17.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Naja also wenn du eine konvergente Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] natürlicher Zahlen hast, sagen wir mal mit Grenzwert $a$, dann gibt es nach Definition der Konvergenz zu [mm] $\varepsilon=1/4$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a|<1/4$, [/mm] d.h. [mm] $a-1/4
Edit: Das mit dem Widerspruchsbeweis klappt natürlich auch, ist eigentlich auch ganz hübsch. Negiert hast du schon richtig, ist also [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] nicht fast-konstant, dann gibt es zu jedem [mm] $N\in\IN$ [/mm] ein [mm] $n\ge [/mm] N$ mit [mm] $a_n\ne a_N$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $(a_n)$ [/mm] dann keine Cauchyfolge, denn es gibt kein [mm] $M\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a_m|<1/4$ [/mm] für alle $n,m>M$... also kann [mm] $(a_n)$ [/mm] nicht konvergieren.
Konvergenz in [mm] $\IC$ [/mm] bedeutet einfach nur, dass du als Betrag den komplexen Betrag [mm] $|a+ib|:=\sqrt{a^2+b^2}$ [/mm] verwenden musst. Da du hier aber nur reelle Zahlenfolgen betrachtest, ist das einfach der ganz normale Betrag in [mm] $\IR$.
[/mm]
Gruß, Robert
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