Konvergenz in Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:58 So 18.06.2017 | | Autor: | Trajan |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_n) [/mm] eine Folge von u.i.v Poissonverteilten Zufallsvariablen mit Parameter [mm] \lambda > 0[/mm].
Berechnen Sie den Limes:
[mm]
\lim_{n \to \infty}P(\sum_{k=1}^{n} X_k \le n)
[/mm] |
Ich denke, dass man diese Aufgabe mit dem zentralen Grenzwertsatz lösen soll.
Ich habe also den oben stehenden Ausdruck wie folgt umgeformt.
[mm]
P(\sum_{k=1}^{N} X_k\le n)=P(\bruch{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \bruch{X_k-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\le \bruch{1-\lambda}{\sqrt{\lambda}})
[/mm]
was ja schonmal ganz gut aussieht. Aber der Vorfaktor
[mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist zu viel. Icn bräuchte [mm]\bruch{1}{\sqrt{n}}[/mm]. Aber ich sehe leider nicht, wie ich weiter umformen kann. Ich könnte zwar [mm]\bruch{1}{n}[/mm] in die Summe ziehen und mit Mittelwerten arbeiten, aber dann würde immer noch ein [mm]\bruch{1}{\sqrt{n}}[/mm] fehlen.
Kann jemand aushelfen? Oder ist gar mein ganzer Ansatz falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Mi 21.06.2017 | | Autor: | luis52 |
Moin Trajan
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zwei Tipps auf die Schnelle:
1) [mm] $\sum_{k=1}^nX_k$ [/mm] ist Poisson-verteilt mit Parameter [mm] $n\lambda$ [/mm] ...
2) Ein bisschen Herumprobieren auf dem Rechner laesst mich zur folgenden Vermutung kommen: Der Grenzwert ist 0 fuer [mm] $\lambda>1$, [/mm] 1 fuer [mm] $\lambda<1$ [/mm] und 1/2 fuer [mm] $\lambda=1$. [/mm] Beweisen kann ich's leider nicht. :-(
Mir ist noch etwas eingefallen. Das Ereignis ist aequivalent mit [mm] $(\bar X\le [/mm] 1)$, wobei [mm] $\bar X=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k$ [/mm] das arithmetische Mittel ist. Es gilt [mm] $\operatorname{E}[\bar X]=\lambda$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\lambda/n$. [/mm] Ist [mm] $\lambda<1$, [/mm] so wird die Wahrscheinlichkeitsmasse der Verteilung von [mm] $\bar [/mm] X$ nach links von 1 verschoben. Ungeschuetzt ein dritter Tipp: Tschebyschewsche Ungleichung?
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