Konvergenz in R3 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Sei [mm] t_n [/mm] n=1 bis unendlich eine konvergente Folge mit [mm] t_n [/mm] ungleich 0 für alle n element N und [mm] f_n [/mm] eine konvergente Folge und [mm] k_n [/mm] eine konvergente Folge definiert durch [mm] k_n [/mm] = [mm] (xt_n+yf_n)/zt_n [/mm] für reele x,y,z mit z ungleich 0. Zeigen sie das die Folge [mm] m_n [/mm] = [mm] (t_n, f_n, k_n) [/mm] in R3 konvergiert] |
Hallo,
wie gehe ich an dieses Problem an? Ich habe mir einen Vektor m gewählt mit den Einträgen (x,y,z). Nun will ich zeigen, dass die Folge gegen diesen Vektor konvergiert. Ist der Ablauf in etwa so korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 So 13.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> [Sei [mm]t_n[/mm] n=1 bis unendlich eine konvergente Folge mit [mm]t_n[/mm]
> ungleich 0 für alle n element N und [mm]f_n[/mm] eine konvergente
> Folge und [mm]k_n[/mm] eine konvergente Folge definiert durch [mm]k_n[/mm] =
> [mm](xt_n+yf_n)/zt_n[/mm] für reele x,y,z mit z ungleich 0. Zeigen
> sie das die Folge [mm]m_n[/mm] = [mm](t_n, f_n, k_n)[/mm] in R3 konvergiert]
> Hallo,
>
> wie gehe ich an dieses Problem an? Ich habe mir einen
> Vektor m gewählt mit den Einträgen (x,y,z). Nun will ich
> zeigen, dass die Folge gegen diesen Vektor konvergiert. Ist
> der Ablauf in etwa so korrekt?
Nein. Eine Folge im [mm] \IR^3 [/mm] konvergiert genau dann, wenn sie koordinatenweise konvergiert.
Fehlt in der Aufgabenstellung nicht etwas ?
Wenn z.B. [mm] t_n=1/n [/mm] ist und [mm] f_n [/mm] =1 ist für alle n, so ist [mm] (k_n) [/mm] divergent !!
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
nein die Aufgabenstellung ist exakt die selbe. Du hast recht ich habe mich ein wenig unsauber ausgedrückt. Selbstverständlich prüfe ich die Konvergenz Komponentenweise. Mit der Euklidischen Norm erhalt ich diesen Term: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[]{(t_n - x)^2 + (f_n - y)^2 + (k_n - z)^2}. [/mm] Naja und dies ist eben der springende Punkt. Es wird in der Aufgabenstellung nicht explizit gesagt, gegen welchen Wert die Folge und um was für Folgen es sich handelt. Naheliegend waren jetzt die Variablen x,y,z da sie nach Aufgabenstellung reele Zahlen darstellen sollen und durch [mm] k_n [/mm] = [mm] \bruch{xt_n + yf_n}{zt_n} [/mm] verwendet werden. Ersetz ich nun das [mm] c_n [/mm] durch den obigen Term erhalt ich nach einigen elementaren Umformungen ein wirres chaos.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 13.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> nein die Aufgabenstellung ist exakt die selbe. Du hast
> recht ich habe mich ein wenig unsauber ausgedrückt.
> Selbstverständlich prüfe ich die Konvergenz
> Komponentenweise. Mit der Euklidischen Norm erhalt ich
> diesen Term: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[]{(t_n - x)^2 + (f_n - y)^2 + (k_n - z)^2}.[/mm]
Wo steht denn, dass [mm] (t_n) [/mm] gegen x konvergiert, [mm] (f_n) [/mm] gegen y und [mm] (k_n) [/mm] gegen z ????
> Naja und dies ist eben der springende Punkt. Es wird in der
> Aufgabenstellung nicht explizit gesagt, gegen welchen Wert
> die Folge und um was für Folgen es sich handelt.
> Naheliegend waren jetzt die Variablen x,y,z da sie nach
> Aufgabenstellung reele Zahlen darstellen sollen und durch
> [mm]k_n[/mm] = [mm]\bruch{xt_n + yf_n}{zt_n}[/mm] verwendet werden. Ersetz
> ich nun das [mm]c_n[/mm] durch den obigen Term erhalt ich nach
> einigen elementaren Umformungen ein wirres chaos.
Ist t der Grenzwert von [mm] (t_n) [/mm] und f der Grenzwert von [mm] (f_n), [/mm] so gilt im Falle t [mm] \ne [/mm] 0:
[mm]k_n[/mm] = [mm]\bruch{xt_n + yf_n}{zt_n}[/mm] [mm] \to \bruch{xt + yf}{zt}.
[/mm]
Ist aber t=0, so ist über die Konvergenz von [mm] (k_n) [/mm] keine Aussge möglich.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
Es steht nirgendswo, dass die Folgen gegen die von mir genannten Variablen konvergieren. Es war eine Annhame, da wir im reelen auch bei unbekantem Grenzwert eine Variable gewählt haben, nicht? Ob ich nun meine Variablen x,y,z oder t,f,k nenne sollte doch keine Rolle spielen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 13.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Es steht nirgendswo, dass die Folgen gegen die von mir
> genannten Variablen konvergieren. Es war eine Annhame, da
> wir im reelen auch bei unbekantem Grenzwert eine Variable
> gewählt haben, nicht? Ob ich nun meine Variablen x,y,z
> oder t,f,k nenne sollte doch keine Rolle spielen, oder?
In obigem Fall spielt das durchaus eine Rolle, weil x , y und z doch für die Definition der Folge [mm] (k_n) [/mm] verwendet wurden !!!
FRED
|
|
|
|
