www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Konvergenz in L1 unklar
Konvergenz in L1 unklar < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz in L1 unklar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:00 Fr 27.03.2020
Autor: Jellal

Guten Abend!

Ich bin gerade kläglich daran gescheitert, rigoros einzusehen, dass die Konvergenz in L1 der Konvergenz im Erwartungswert entspricht.

Wenn ich weiß, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}E|X_{n}-X| [/mm] = 0... wie kann ich dann zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}EX_{n} [/mm] = EX ist?
Also wie bekomme ich die Betragsstriche weg? Gilt dieser Zusammenhang nur in Spezialfällen, wenn ich z.B. weiß, dass die [mm] X_{n} [/mm] fast sicher kleiner oder größer als X sind?`

vG.

Jellal

        
Bezug
Konvergenz in L1 unklar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 Fr 27.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich bin gerade kläglich daran gescheitert, rigoros
> einzusehen, dass die Konvergenz in L1 der Konvergenz im
> Erwartungswert entspricht.

wieso "entspricht"?
Das ist de facto die Definition, korrekter wäre dann aber "Konvergenz unterm Erwartungswert".

> Wenn ich weiß, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}E|X_{n}-X|[/mm]
> = 0... wie kann ich dann zeigen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}EX_{n}[/mm] = EX ist?

Oder meintest du: Dass [mm] $L^1$ [/mm] - Konvergenz dasselbe ist wie die Konvergenz der Erwartungswerte?
Das stimmt übrigens auch nicht, zwar gilt die Folgerung, dass aus [mm] L^1-Konvergenz [/mm] die Konvergenz der Erwartungswerte folgt, aber die Rückrichtung gilt im Allgemeinen nicht!

Und dann noch ein Hinweis / Bitte: Die Notation für den Erwartungswert nur EX zu schreiben, ist gruselig, uneindeutig und solltest du dir abgewöhnen.
Schreib also bitte E[X] oder E(X).

>  Also wie bekomme ich die Betragsstriche weg? Gilt dieser
> Zusammenhang nur in Spezialfällen, wenn ich z.B. weiß,
> dass die [mm]X_{n}[/mm] fast sicher kleiner oder größer als X sind?'

Nö, das folgt schon fast trivial:

Es ist $0 [mm] \le \left| E[X_n] - E[X] \right| \le E[|X_n [/mm] - X|]$

D.h. gilt nun [mm] $\lim_{n\to\infty} E[|X_n [/mm] - X|] = 0$ folgt daraus [mm] $\lim_{n\to\infty} \left| E[X_n] - E[X] \right| [/mm] = 0 [mm] \quad \gdw \quad \lim_{n\to\infty} \left(E[X_n] - E[X] \right) [/mm] = 0 [mm] \quad \gdw \quad \lim_{n\to\infty} E[X_n] [/mm] = E[X]$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Konvergenz in L1 unklar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Fr 27.03.2020
Autor: Jellal

Danke Gono, das hab ich gebraucht.

Die Notation machen die hier alle so, vermutlich aus Faulheit. Besonders mit Potenzen war das dann verwirrend, also [mm] EX^{2} [/mm] = [mm] E(X^{2}), [/mm] nicht etwa [mm] (E(X))^{2}. [/mm]
Stimmt schon, dass das nicht schön ist.

vG.

Jellal

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]