Konvergenz gegen e?! < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] a_n [/mm] = [mm] (\bruch{2n+5}{2n+3})^n [/mm] |
Kann man bei einer solchen Aufgabe benutzen, dass
[mm] (1+\bruch{1}{n+1,5})^{n+1,5}
[/mm]
gegen e konvergiert?
Oder stimmt das gar nicht und es gilt nur für n+natürliche Zahl? Die Musterlösung zeigt das anders und der Tutor wusste nicht, ob es stimmt und ob man es darf.
Klausur ist übermorgen und vielleicht ist die mal wie die Probeklausur?!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Mi 25.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mathe-assi!
> [mm]a_n[/mm] = [mm](\bruch{2n+5}{2n+3})^n[/mm]
> Kann man bei einer solchen Aufgabe benutzen, dass
>
> [mm](1+\bruch{1}{n+1,5})^{n+1,5}[/mm]
>
> gegen e konvergiert?
Ja, damit funktioniert es.
> Oder stimmt das gar nicht und es gilt nur für n+natürliche Zahl?
Allgemein gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IC.
[/mm]
> Die Musterlösung zeigt das anders und der Tutor wusste nicht,
Echt? 
> ob es stimmt und ob man es darf.
> Klausur ist übermorgen und vielleicht ist die mal wie die
> Probeklausur?!
Zeige uns doch mal deine Rechenschritte. Bei mir klappt es.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Es geht nicht darum, ob es klapp1 Es klappt und kommt auch richtig raus. Die Frage ist, ob man das benutzen darf.
Ich habe gerechnet:
[mm] (\bruch{2n+5}{2n+3})^n [/mm] = [mm] (\bruch{2n+3+2}{2n+3})^n [/mm] = [mm] (1+\bruch{2}{2n+3})^n [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{1n+1,5})^n [/mm]
[mm] =(1+\bruch{1}{n+1,5})^{n+1,5}*(1+\bruch{1}{n+1,5})^{-1,5}
[/mm]
Und dann mit erster Teil gegen e und zweiter Teil gegen 1, insgesamt konvergente gegen e.
(Vielleicht habe ich mich eben vertippt --> ich muss jetzt weg)
Die frage ist eben und das wusste der Tutor nicht, ob der linke Teil gegen e konvergiert und man da benutzen darf!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mi 25.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es geht nicht darum, ob es klapp1 Es klappt und kommt auch
> richtig raus. Die Frage ist, ob man das benutzen darf.
> Ich habe gerechnet:
>
> [mm](\bruch{2n+5}{2n+3})^n[/mm] = [mm](\bruch{2n+3+2}{2n+3})^n[/mm] =
> [mm](1+\bruch{2}{2n+3})^n[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{1n+1,5})^n[/mm]
> [mm]=(1\bruch{1}{n+1,5})^{n+1,5}*(\bruch{1}{n+1,5})^{-(n+1,5)}[/mm]
Das letzte "=" ist völlig falsch. Setzen wir [mm] a_n:=n+1,5. [/mm] Dann ist
$ [mm] (\bruch{2n+5}{2n+3})^n=(1+\bruch{1}{a_n})^{a_n-1,5}=(1+\bruch{1}{a_n})^{a_n}*(1+\bruch{1}{a_n})^{-1,5} [/mm] $
Dass die Folge [mm] ((1+\bruch{1}{a_n})^{-1,5}) [/mm] gegen 1 konvergiert, dürfte klar sein.
Die Folge [mm] ((1+\bruch{1}{a_n})^{a_n}) [/mm] konvergiert gegen $e$.
Das kann man aus der Konvergenz der Folge [mm] ((1+\bruch{1}{n})^{n}) [/mm] gegen $e$ folgern (wie ?).
Es gibt 2 Möglichkeiten:
1. Ihr hattet diese Folgerung, dann darfst Du sie benutzen.
2. Ihr hattet diese Folgerung nicht, dann zeige sie.
FRED
>
> Und dann mit erster Teil gegen e und zweiter Teil gegen 1,
> insgesamt konvergente gegen e.
> (Vielleicht habe ich mich eben vertippt --> ich muss jetzt
> weg)
>
> Die frage ist eben und das wusste der Tutor nicht, ob der
> linke Teil gegen e konvergiert und man da benutzen darf!
|
|
|
| |
|
Das meinte ich mit vertippt ... beim letzten Gleichheitszeichen der zweite Faktor ist natürlich ohne "hoch n"!!
(Habe es oben korrigiert) --> Da fehlte auch zweimal + und einmal sogar 1+ !!
Okay. Zeigen also ... weil dran war es nicht (Tutor wusste ja nicht einmal, ob es stimmt) probiere ich gleich mal ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mi 25.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das meinte ich mit vertippt ... beim letzten
> Gleichheitszeichen der zweite Faktor ist natürlich ohne
> "hoch n"!!
>
> (Habe es oben korrigiert) --> Da fehlte auch zweimal + und
> einmal sogar 1+ !!
>
> Okay. Zeigen also ... weil dran war es nicht (Tutor wusste
> ja nicht einmal, ob es stimmt)
Toller Tutor, gehört gefeuert.
FRED
> probiere ich gleich mal ...
|
|
|
|
