Konvergenz ganze Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mo 12.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit [mm] a_n \in \mathbb{Z} [/mm] für alle n [mm] \in \mathbb{R}. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] genau dann gegen a konvergent ist, wenn es einen Index [mm] n_0 [/mm] so gibt, dass [mm] a_n [/mm] = a für alle [mm] n\geq n_0 [/mm] ist. |
Hallo,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe, und weiß nicht wie ich einen Beweis bringen soll.
Da sämtliche Elemente von [mm] a_n [/mm] ganze Zahlen sind, kann die Folge ja nur ab einem bestimmten n den Wert einer ganzen Zahl annehmen. Vorrausgesetzt die Folge konvergiert.
Leider fehlt mir der Ansatz, wie ich den Beweis angehe.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tip geben könnte.
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mo 12.08.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Micha!
Verwende zum Beispiel die Definition der Konvergenz mittels [mm] $\varepsilon$-Kriteriums [/mm] und setze z.B. [mm] $\varepsilon [/mm] \ := \ 0{,}5$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Di 13.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge mit [mm]a_n \in \mathbb{Z}[/mm] für alle n [mm]\in \mathbb{R}.[/mm]
> Beweisen Sie, dass [mm](a_n)[/mm] genau dann gegen a konvergent ist,
> wenn es einen Index [mm]n_0[/mm] so gibt, dass [mm]a_n[/mm] = a für alle
> [mm]n\geq n_0[/mm] ist.
> Hallo,
> ich arbeite gerade an dieser Aufgabe, und weiß nicht wie
> ich einen Beweis bringen soll.
>
> Da sämtliche Elemente von [mm]a_n[/mm] ganze Zahlen sind, kann die
> Folge ja nur ab einem bestimmten n den Wert einer ganzen
> Zahl annehmen. Vorrausgesetzt die Folge konvergiert.
> Leider fehlt mir der Ansatz, wie ich den Beweis angehe.
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tip geben
> könnte.
Loddar hat Dir ja schon einen Tipp für [mm] "$\Longrightarrow$" [/mm] gegeben (Du kannst
übrigens generell irgendeine Zahl $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ dafür wählen). Ich wollte
nur daran erinnern - auch, wenn die Folgerungsrichtung [mm] "$\Longleftarrow$"
[/mm]
'trivial' ist - dass Du bitte beachtest, dass Du auch zu [mm] "$\Longleftarrow$" [/mm] was
schreiben solltest: Schließlich steht da eine 'Genau dann, wenn'-Aussage!
P.S. [mm] "$\Longrightarrow$" [/mm] kann man auch so beweisen - Beweis per Kontraposition:
Es gebe nun kein [mm] $n_0$ [/mm] so, dass [mm] $a_n=a$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0\,.$ [/mm] Dann gibt es für
jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] also ein natürliches [mm] $N=N_n [/mm] > n$ mit [mm] $a_N \not=a.$ [/mm] Folglich gibt es für
jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein natürliches [mm] $N=N_n [/mm] > n$ mit
[mm] $|a_N-a| \ge 1\,.$ [/mm] (Der Abstand zweier verschiedener ganzer Zahlen ist [mm] $\ge 1\,.$)
[/mm]
Folgere damit, dass man daher eine Teilfolge [mm] ${(a_{n_k})}_k$ [/mm] von [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] konstruieren
kann mit [mm] $|a_{n_k}-a| \ge [/mm] 1$ für alle [mm] $k\,$ [/mm] - insbesondere gilt also [mm] $a_{n_k} \not\to [/mm] a$ bei [mm] $\red{\;k\;}\to \infty\,.$ [/mm]
Daraus folgt [mm] $a_n \not\to a\,$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Di 13.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel und Loddar,
vielen Dank für eure Antworten. Irgendwie bin ich für den Beweis zu blöde.
Kann ich nicht erst zeigen, daß a [mm] \in \IZ [/mm] sein muß? Dann wäre die weiter Vorgehensweise einfacher.
Sorry Marcel, ich weiß wieviel Arbeit du dir immer mit deinen Antworten machst, aber leider habe ich deinen Lösungsansatz nicht verstanden.
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Di 13.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel und Loddar,
> vielen Dank für eure Antworten. Irgendwie bin ich für
> den Beweis zu blöde.
>
> Kann ich nicht erst zeigen, daß a [mm]\in \IZ[/mm] sein muß? Dann
> wäre die weiter Vorgehensweise einfacher.
>
> Sorry Marcel, ich weiß wieviel Arbeit du dir immer mit
> deinen Antworten machst, aber leider habe ich deinen
> Lösungsansatz nicht verstanden.
> Grüße,
> Micha
ich würde das so machen:
1. die Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist klar, oder ?
2. die Richtung [mm] "\Rightarrow": [/mm] es gilt [mm] a_n \to [/mm] a. Zu [mm] \varepsilon=1/4 [/mm] gibt es dann ein [mm] n_0 [/mm] mit:
[mm] |a_n-a|<1/4 [/mm] für n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Für n,m [mm] \ge n_0 [/mm] haben wir dann:
(*) [mm] |a_n-a_m|=|a_n-a+a-a_m|\le |a_n-a|+|a_m-a| [/mm] <1/4+ 1/4=1/2.
Sind nun u und v ganze Zahlen und gilt |u-v|<1/2, so muss u=v sein. Ist Dir das klar ?
Aus (*) folgt also: [mm] a_n=a_m [/mm] für alle n,m [mm] \ge n_0
[/mm]
[mm] (a_n) [/mm] ist also "fastkonstant" und damit ist [mm] a_n=a [/mm] für alle [mm] n\ge n_0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Di 13.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Fred,
meine Laune hat sich gerade schlagartig verbessert. Ist sehr schön nachvollziehbar.
> ich würde das so machen:
>
> 1. die Richtung [mm]"\Leftarrow"[/mm] ist klar, oder ?
Ja, die ergibt sich ja eigentlich schon aus der Aufgabe.
> 2. die Richtung [mm]"\Rightarrow":[/mm] es gilt [mm]a_n \to[/mm] a. Zu
> [mm]\varepsilon=1/4[/mm] gibt es dann ein [mm]n_0[/mm] mit:
>
> [mm]|a_n-a|<1/4[/mm] für n [mm]\ge n_0.[/mm]
>
> Für n,m [mm]\ge n_0[/mm] haben wir dann:
>
> (*) [mm]|a_n-a_m|=|a_n-a+a-a_m|\le |a_n-a|+|a_m-a|[/mm] <1/4+
> 1/4=1/2.
>
> Sind nun u und v ganze Zahlen und gilt |u-v|<1/2, so muss
> u=v sein. Ist Dir das klar ?
Ja, das leuchtet jetzt ein. Du betrachtest den Abstand der Folgenglieder mit n [mm] \ge n_0 [/mm] und da diese Folgenglieder nach Vorgabe ganze Zahlen sein müssen, und der Abstand kleiner 1 sein muß (nach [mm] \epsilon [/mm] Kriterium und der Abschätzung), können diese Folgenglieder nur gleich sein. Da dieses für [mm] \forall \in a_n [/mm] mit n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt, muß für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] gelten: [mm] a_n=a
[/mm]
Marcel hat dieses Reststück der Folge auch beschrieben. Ich habs da aber leider nicht verstanden.
Könntet ihr kurz schreiben ob ich das jetzt richtig sehe!
Vielen Dank,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Di 13.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Micha,
> Hallo Fred,
> meine Laune hat sich gerade schlagartig verbessert. Ist
> sehr schön nachvollziehbar.
>
> > ich würde das so machen:
> >
> > 1. die Richtung [mm]"\Leftarrow"[/mm] ist klar, oder ?
>
> Ja, die ergibt sich ja eigentlich schon aus der Aufgabe.
>
> > 2. die Richtung [mm]"\Rightarrow":[/mm] es gilt [mm]a_n \to[/mm] a. Zu
> > [mm]\varepsilon=1/4[/mm] gibt es dann ein [mm]n_0[/mm] mit:
> >
> > [mm]|a_n-a|<1/4[/mm] für n [mm]\ge n_0.[/mm]
> >
> > Für n,m [mm]\ge n_0[/mm] haben wir dann:
> >
> > (*) [mm]|a_n-a_m|=|a_n-a+a-a_m|\le |a_n-a|+|a_m-a|[/mm] <1/4+
> > 1/4=1/2.
> >
> > Sind nun u und v ganze Zahlen und gilt |u-v|<1/2, so muss
> > u=v sein. Ist Dir das klar ?
>
> Ja, das leuchtet jetzt ein. Du betrachtest den Abstand der
> Folgenglieder mit n [mm]\ge n_0[/mm] und da diese Folgenglieder nach
> Vorgabe ganze Zahlen sein müssen, und der Abstand kleiner
> 1 sein muß (nach [mm]\epsilon[/mm] Kriterium und der Abschätzung),
> können diese Folgenglieder nur gleich sein. Da dieses für
> [mm]\forall \in a_n[/mm] mit n [mm]\ge n_0[/mm] gilt, muß für alle [mm]n\ge n_0[/mm]
> gelten: [mm]a_n=a[/mm]
ja! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Man kann das auch so ergänzen: Aus [mm] $a_n=a_m$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] folgt insbesondere
[mm] $a_n=a_{n_0}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge m\,.$ [/mm] Nun ist aber [mm] $|a_{n_0}-a| [/mm] ...$ ...)
Übrigens kann man auch direkt auf Freds Überlegungen verzichten, wenn man
folgende Vorüberlegung macht:
Seien alle [mm] $a_n \in \IZ$ [/mm] und es gelte [mm] $a_n \to [/mm] a.$ Dann ist $a [mm] \in \IZ.$ [/mm] Ich sage Dir
nun den Grund, und dann schauen wir mal, ob Du das formal zu Ende
bewiesen bekommst:
Zu $a [mm] \in \IR\setminus \IZ$ [/mm] betrachte [mm] $a_{-}:=[a]:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le a\}.$ [/mm] Dann ist [mm] $a_{-} [/mm] < [mm] a\,.$ [/mm] (Warum?) Weiter
ist [mm] $a_{+}:=[a]+1=a_{-}+1$ [/mm] mit $a_+ > a$ ganzzahlig. (Warum?) Damit ist die Menge [mm] $\{\epsilon_1,\;\epsilon_2\}$ [/mm] mit
[mm] $\epsilon_1:=a-a_{-}$ [/mm] und [mm] $\epsilon_2:=a_{+}-a$ [/mm] eine endliche (da zwei-elementige) Menge echt
positiver Zahlen - es existiert also [mm] $\epsilon:=\min\{\epsilon_1,\;\epsilon_2\}$ [/mm] und es ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Betrachte
nun die offene [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] um [mm] $a\,$ [/mm] - diese kann keine ganzen Zahlen enthalten.
(Das solltest Du begründen!!)
Aber wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ liegen fast alle Folgenglieder in dieser [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $a\,$ [/mm]
- das ist aber ein Widerspruch zu [mm] $a_n \in \IZ$ [/mm] für ALLE [mm] $n\,.$
[/mm]
(Nur mal so als Randbemerkung: Das Ganze wirkt relativ abstrakt - aber wenn
man sich mal eine Skizze am Zahlenstrahl macht...)
Daraus folgt dann: Da der Abstand [mm] $|a_n-a|$ [/mm] ein Abstand zweier ganzer Zahlen
sein muss...
> Marcel hat dieses Reststück der Folge auch beschrieben.
> Ich habs da aber leider nicht verstanden.
Nein, nicht ganz: Ich habe einen Beweis per Kontraposition vorgeschlagen
(d.h. anstatt die Folgerung $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$ zu beweisen, beweist man [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Longrightarrow (\neg [/mm] A)$).
Dann habe ich gesagt: Unter der Annahme, dass es kein [mm] $n_0$ [/mm] gibt so, dass [mm] $a_n=a$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge n_0\,,$ [/mm] gibt es unendlich viele Folgenglieder, deren Abstand zu [mm] $a\,$
[/mm]
[mm] $\ge [/mm] 1$ ist. Also gibt es insbesondere eine Teilfolge [mm] ${(a_{n_k})}_k$ [/mm] so, dass [mm] $|a_{n_k}-a| \ge [/mm] 1$ SOGAR
für alle [mm] $k\,.$ [/mm] Damit konvergiert diese Teilfolge sicher nicht gegen [mm] $a\,.$
[/mm]
Da eine Folge aber genau dann gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert, wenn jede Teilfolge
gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert, kann damit [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] nicht gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergent sein.
Damit ist der Beweis per Kontraposition beendet!
> Könntet ihr kurz schreiben ob ich das jetzt richtig sehe!
Das von Fred und Loddar Gesagte: Ja! Zu dem von mir Gesagten habe ich ja
nun Ergänzungen geschrieben - vielleicht wird es damit klarer.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 13.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Antwort. Ich hab ja schon geschrieben, daß ich sehr froh bin hier Hilfe zu erhalten, also bitte nicht falsch verstehen, auch wenn ich mal was nicht verstehe.
Ich gucke gerade deine Antwort durch. Leider bin ich mir nicht sicher, was:
$ [mm] a_{-}:=[a]:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le a\}. [/mm] $
bedeutet.
Die Schreibweise mit [a] verstehe ich einfach nicht
Da a [mm] \in \IR [/mm] / [mm] \IZ [/mm] nun mal keine ganze Zahl sein darf, gehe ich mal davon aus, dass du mit [mm] a_{-} [/mm] das a bezeichnest, daß am dichtesten oberhalb (also größer/gleich) z [mm] \in \IZ [/mm] ist.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Micha,
> Hallo Marcel,
> vielen Dank für deine Antwort. Ich hab ja schon
> geschrieben, daß ich sehr froh bin hier Hilfe zu erhalten,
> also bitte nicht falsch verstehen, auch wenn ich mal was
> nicht verstehe.
kein Problem - mach' Dir keinen Stress. 
> Ich gucke gerade deine Antwort durch. Leider bin ich mir
> nicht sicher, was:
>
> [mm]a_{-}:=[a]:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le a\}.[/mm]
> bedeutet.
>
> Die Schreibweise mit [a] verstehe ich einfach nicht
Kennst Du die
![[]](/images/popup.gif) Gaußklammer (=Abrundungsfunktion)?
[mm] $[a]\,$ [/mm] (auch geschrieben als [mm] $\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor$) [/mm] ist einfach die Gaußklammer von [mm] $a\,.$ [/mm] Schau'
Dir insbesondere die
Beispiele
an!
> Da a [mm]\in \IR[/mm] / [mm]\IZ[/mm] nun mal keine ganze Zahl sein darf, gehe
> ich mal davon aus, dass du mit [mm]a_{-}[/mm] das a bezeichnest,
> daß am dichtesten oberhalb (also größer/gleich) z [mm]\in \IZ[/mm]
> ist.
Dreh' die Richtung um, dann passt's. [mm] ($a_{-}=[a]$ [/mm] ist die größte Zahl,
die "am nächsten unterhalb" (also [mm] $\le$) $\red{a}\;$ [/mm] ist und zudem in [mm] $\IZ$ [/mm] liegt:
[mm] $[a]\,$ [/mm] ist die größte ganze Zahl, die noch [mm] $\red{\;\le\;} [/mm] a$ ist!)
Man kann auch sagen: Für $a [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $[a]\,$ [/mm] ist die (einzige) ganze Zahl $z=z(a) [mm] \in \IZ\,,$ [/mm] die $z [mm] \le [/mm] a [mm] \red{\;<\;}z+1$ [/mm] erfüllt.
"Algorithmisch:" Wenn Du $a [mm] \in \IR$ [/mm] hast, betrachte für alle $k [mm] \in \IZ$ [/mm] das Intervall
$[k,k+1)$ und prüfe, ob $a [mm] \in [/mm] [k,k+1)$ gilt. Genau dann, wenn $a [mm] \in [/mm] [k,k+1)$ gilt, ist
[mm] $[a]=k\,;$ [/mm] d.h. für $a [mm] \notin [/mm] [k,k+1)$ gilt $[a] [mm] \not=k\,.$
[/mm]
Beispiele:
1.) Sei [mm] $a:=-\,0.7\,.$ [/mm] Es ist $a [mm] \notin [1,2)\,,$ [/mm] also [mm] $[-\,0.7] \not=1\,.$ [/mm] Es ist aber $a [mm] \in [-\,1,0)\,,$ [/mm] also [mm] $[-\,0.7]=-\,1\,.$
[/mm]
2.) Sei [mm] $a:=3.7\,.$ [/mm] Es ist $a [mm] \notin [5,6)\,,$ [/mm] also $[3.7] [mm] \not=5\,.$ [/mm] Es ist aber $a [mm] \in [3,4)\,,$ [/mm] also [mm] $[3.7]=3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 14.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
> Ich sage Dir
> nun den Grund, und dann schauen wir mal, ob Du das formal
> zu Ende
> bewiesen bekommst:
> Zu [mm]a \in \IR\setminus \IZ[/mm] betrachte [mm]a_{-}:=[a]:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le a\}.[/mm]
> Dann ist [mm]a_{-} < a\,.[/mm] (Warum?)
Da [mm] a_{-} [/mm] die größte ganze Zahl [mm] \le [/mm] a ist und a [mm] \notin \IZ [/mm] ist, kann [mm] a\not= a_{-} [/mm] sein. Damit muß [mm] a_{-} [/mm] < a sein.
>Weiter ist [mm]a_{+}:=[a]+1=a_{-}+1[/mm] mit [mm]a_+ > a[/mm] ganzzahlig. (Warum?)
Da der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen = 1 beträgt, und [mm] a_{-} [/mm] eine ganze zahl ist, ist [mm] a_{+}=a_{-}+1 [/mm] gilt, sind [mm] a_{-}, a_{+} \in \IZ
[/mm]
> Damit ist die Menge [mm]\{\epsilon_1,\;\epsilon_2\}[/mm] mit
> [mm]\epsilon_1:=a-a_{-}[/mm] und [mm]\epsilon_2:=a_{+}-a[/mm] eine endliche
> (da zwei-elementige) Menge echt
> positiver Zahlen - es existiert also
> [mm]\epsilon:=\min\{\epsilon_1,\;\epsilon_2\}[/mm] und es ist
> [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Betrachte
> nun die offene [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung um [mm]a\,[/mm] - diese kann keine
> ganzen Zahlen enthalten.
> (Das solltest Du begründen!!)
Die offene [mm] \epsilon [/mm] Umgebung um a ist die Menge [mm] U_a [/mm] = [mm] \left\{ u \in \IR \quad |\quad a-\epsilon < u < a+\epsilon \right\}
[/mm]
Die nächste ganze Zahl z ist aber [mm] z=a-\epsilon [/mm] oder [mm] z=a+\epsilon. [/mm] Da aber diese beiden Punkte [mm] \notin U_a [/mm] sind, existiert keine einzige ganze Zahl, die in der offenen [mm] \epsilon [/mm] Umgebung um a liegt.
> Aber wegen [mm]a_n \to a[/mm] liegen fast alle Folgenglieder in
> dieser [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung von [mm]a\,[/mm]
> - das ist aber ein Widerspruch zu [mm]a_n \in \IZ[/mm] für ALLE
> [mm]n\,.[/mm]
> (Nur mal so als Randbemerkung: Das Ganze wirkt relativ
> abstrakt - aber wenn
> man sich mal eine Skizze am Zahlenstrahl macht...)
Skizze
>
> Daraus folgt dann: Da der Abstand [mm]|a_n-a|[/mm] ein Abstand
> zweier ganzer Zahlen
> sein muss...
Ja, und dann ist es eigentlich "leicht"
Grüße,
Micha
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Ich sage Dir
> > nun den Grund, und dann schauen wir mal, ob Du das
> formal
> > zu Ende
> > bewiesen bekommst:
> > Zu [mm]a \in \IR\setminus \IZ[/mm] betrachte [mm]a_{-}:=[a]:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le a\}.[/mm]
> > Dann ist [mm]a_{-} < a\,.[/mm] (Warum?)
>
> Da [mm]a_{-}[/mm] die größte ganze Zahl [mm]\le[/mm] a ist und a [mm]\notin \IZ[/mm]
> ist, kann [mm]a\not= a_{-}[/mm] sein.
es MUSS [mm] $a_{-} \not=a$ [/mm] sein, denn
> Damit muß [mm]a_{-}[/mm] < a sein.
> >Weiter ist [mm]a_{+}:=[a]+1=a_{-}+1[/mm] mit [mm]a_+ > a[/mm] ganzzahlig.
> (Warum?)
>
> Da der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen =
> 1 beträgt, und [mm]a_{-}[/mm] eine ganze zahl ist, ist
> [mm]a_{+}=a_{-}+1[/mm] gilt, sind [mm]a_{-}, a_{+} \in \IZ[/mm]
Genau: Und zwischen zwei (direkt) aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen
befindet sich halt keine weitere ganze Zahl.
> > Damit ist die Menge [mm]\{\epsilon_1,\;\epsilon_2\}[/mm] mit
> > [mm]\epsilon_1:=a-a_{-}[/mm] und [mm]\epsilon_2:=a_{+}-a[/mm] eine endliche
> > (da zwei-elementige) Menge echt
> > positiver Zahlen - es existiert also
> > [mm]\epsilon:=\min\{\epsilon_1,\;\epsilon_2\}[/mm] und es ist
> > [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Betrachte
> > nun die offene [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung um [mm]a\,[/mm] - diese kann
> keine
> > ganzen Zahlen enthalten.
> > (Das solltest Du begründen!!)
>
>
> Die offene [mm]\epsilon[/mm] Umgebung um a ist die Menge [mm]U_a[/mm] =
> [mm]\left\{ u \in \IR \quad |\quad a-\epsilon < u < a+\epsilon \right\}[/mm]
>
> Die nächste ganze Zahl z ist aber [mm]z=a-\epsilon[/mm] oder
> [mm]z=a+\epsilon.[/mm] Da aber diese beiden Punkte [mm]\notin U_a[/mm] sind,
> existiert keine einzige ganze Zahl, die in der offenen
> [mm]\epsilon[/mm] Umgebung um a liegt.
Genau: Für [mm] $z_1:=a-\epsilon$ [/mm] und [mm] $z_2:=a+\epsilon$ [/mm] gilt nicht
[mm] $|z_k-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] ($k=1,2$).
> > Aber wegen [mm]a_n \to a[/mm] liegen fast alle Folgenglieder in
> > dieser [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung von [mm]a\,[/mm]
> > - das ist aber ein Widerspruch zu [mm]a_n \in \IZ[/mm] für ALLE
> > [mm]n\,.[/mm]
> > (Nur mal so als Randbemerkung: Das Ganze wirkt relativ
> > abstrakt - aber wenn
> > man sich mal eine Skizze am Zahlenstrahl macht...)
>
>
> Skizze
>
> >
> > Daraus folgt dann: Da der Abstand [mm]|a_n-a|[/mm] ein Abstand
> > zweier ganzer Zahlen
> > sein muss...
>
> Ja, und dann ist es eigentlich "leicht"
Eigentlich schon - oder?  (Jedenfalls finde ich, dass diese Skizze alle Details
des Beweis schon beinhaltet; man muss ihn dann nur noch runterschreiben...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Do 15.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ja, wenn ich mir das ganze mal als Skizze aufgemalt hätte, dann wäre ich eventuell auch selber drauf gekommen.
Bei der Formulierung wäre es dann aber eng geworden.
Schade daß es hier keinen DANKE Button gibt.
Viele Grüße,
Micha
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