Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mo 13.02.2012 | | Autor: | highway |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, für welche x [mm] \in \IR [/mm] die Reihe
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}}
[/mm]
konvergiert, für welche sie divergiert. |
Hallo,
ich brüte nun schon einige Zeit über dieser Aufgabe. Was mich dabei irritiert ist das [mm] e^{x*n^2}.
[/mm]
Meine erste Idee war zu versuchen die Reihe in die Potenzreihenform [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n [/mm] zu bringen. Eine Möglichkeit, die ich noch nicht weiter verfolgt habe, da sie mir sehr Rechenintensiv erscheint, wäre sicherlich das [mm] e^x [/mm] als Potenzreihe zu schreiben und das Cauchy- Produkt zu bilden. In diesem Zusammenhang wäre meine erste Frage, ob es einfacher geht und es vielleicht sogar möglich ist zu substituieren. Also
[mm] e^{x*n^2} [/mm] = [mm] (e^x)^n^2 [/mm] und dann mit y := [mm] e^x [/mm] hätte man [mm] \summe_{n=2}^{\infty} a_n y^n^2.
[/mm]
Mein weiterer Lösungsansatz bestand dann darin das Quotientenkriterium auf die Reihe anzuwenden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^{n+1} * \bruch{e^{x*(n+1)^2}}{\wurzel{(n+1)^2 - (n+1)}}}{(-1)^{n} * \bruch{e^{x*(n)^2}}{\wurzel{n^2 - n}}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{e^{x*n^2 + 2*x*n + x} * \wurzel{n^2 - n}}{e^{x*n^2}{\wurzel{n^2 + n}}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{e^{2*x*n + x} * \wurzel{n^2 - n}}{{\wurzel{n^2 + n}}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |e^{2*x*n + x} [/mm] | [mm] *|\bruch{ \wurzel{n^2 - n}}{{\wurzel{n^2 + n}}}|
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{n^2-n}{n^2+n}} [/mm] geht für n [mm] \rightarrow\infty [/mm] gegen 1 Naja und dann habe ich ja sozusagen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |e^{2*x*n}*e^x| [/mm] und das ist < 1 [mm] \forall [/mm] x < 0
Kann ich den Logarithmus in den Limes hineinziehen? Weil dann hätte ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |(2xn)+x| !< 0 und somit
|x| !< [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm]
Was ja dann dafür sprechen würde, dass die Reihe für x < 0 konvergiert?
Das sind meine Gedankengänge zu der Aufgabe, die mir zum Teil recht Zweifelhaft erscheinen. Ich bin für jeden Hinweis wirklich sehr dankbar.
Vielen Dank für jede Hilfe ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mo 13.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
(Hinweis: es ist hilfreich, wenn du deinen amthematischen Background in deinem Profil einträgst, dann wissen wir, auf welchem Niveau wir antworten sollten.)
> Untersuchen Sie, für welche x [mm]\in \IR[/mm] die Reihe
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}}[/mm]
>
> konvergiert, für welche sie divergiert.
> Hallo,
>
> ich brüte nun schon einige Zeit über dieser Aufgabe. Was
> mich dabei irritiert ist das [mm]e^{x*n^2}.[/mm]
> Meine erste Idee war zu versuchen die Reihe in die
> Potenzreihenform [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n[/mm] zu bringen.
> Eine Möglichkeit, die ich noch nicht weiter verfolgt habe,
> da sie mir sehr Rechenintensiv erscheint, wäre sicherlich
> das [mm]e^x[/mm] als Potenzreihe zu schreiben und das Cauchy-
> Produkt zu bilden. In diesem Zusammenhang wäre meine erste
> Frage, ob es einfacher geht und es vielleicht sogar
> möglich ist zu substituieren. Also
> [mm]e^{x*n^2}[/mm] = [mm](e^x)^n^2[/mm] und dann mit y := [mm]e^x[/mm] hätte man
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} a_n y^n^2.[/mm]
>
> Mein weiterer Lösungsansatz bestand dann darin das
> Quotientenkriterium auf die Reihe anzuwenden:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^{n+1} * \bruch{e^{x*(n+1)^2}}{\wurzel{(n+1)^2 - (n+1)}}}{(-1)^{n} * \bruch{e^{x*(n)^2}}{\wurzel{n^2 - n}}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{e^{x*n^2 + 2*x*n + x} * \wurzel{n^2 - n}}{e^{x*n^2}{\wurzel{n^2 + n}}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{e^{2*x*n + x} * \wurzel{n^2 - n}}{{\wurzel{n^2 + n}}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |e^{2*x*n + x}[/mm] | [mm]*|\bruch{ \wurzel{n^2 - n}}{{\wurzel{n^2 + n}}}|[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{n^2-n}{n^2+n}}[/mm] geht für n [mm]\rightarrow\infty[/mm]
> gegen 1 Naja und dann habe ich ja sozusagen:
Du kannst nicht in jedem Fall den Grenzwert eines Produkts als Produkt der Grenzwerte schreiben. Das funktioniert nur umgekehrt: existieren die Grenzwerte der Faktoren, dann existiert der Grenzwert des Produkts. Du schließt aber umgekehrt.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |e^{2*x*n}*e^x|[/mm] und das ist <
> 1 [mm]\forall[/mm] x < 0
> Kann ich den Logarithmus in den Limes hineinziehen?
Der Logarithmus ist in seinem Definitionsbereich stetig.
> Weil
> dann hätte ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |(2xn)+x| !< 0 und somit
> |x| !< [mm]\bruch{0}{\infty}[/mm]
> Was ja dann dafür sprechen würde, dass die Reihe für x <
> 0 konvergiert?
> Das sind meine Gedankengänge zu der Aufgabe, die mir zum
> Teil recht Zweifelhaft erscheinen. Ich bin für jeden
> Hinweis wirklich sehr dankbar.
Zunächst einmal konvergiert eine Reihe nur, wenn die einzelnen Glieder eine Nullfolge bilden. Zu diesem notwendigen Kriterium hast du für alternierende Reihen noch das (hinreichende) Leibnizkriterium: handelt es sich um eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mo 13.02.2012 | | Autor: | highway |
Vielen Dank für die Schnelle Antwort.
Habe meinen Hintergrund nun im Profil eingetragen (Ich Studiere Informatik).
Der Hinweis mit dem Leibnizkriterium war gut. Danke nochmal! Ich bin es nun so angegangen:
Erstmal Zeige ich die Monotonie:
[mm] \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}} [/mm] > [mm] \bruch{e^{x(n+1)^2}}{\wurzel{(n+1)^2 - (n+1)}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{n^2 - n}} [/mm] > [mm] \bruch{e^{2nx + x}}{\wurzel{n^2+n}}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{\bruch{n+1}{n - 1}} [/mm] > [mm] e^{2nx + x}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n+1}{n - 1} [/mm] > [mm] e^{4nx + 2x} [/mm] (Werte sind positiv)
[mm] \gdw [/mm] 1 > [mm] e^{4nx + 2x}\bruch{n-1}{n + 1}
[/mm]
[mm] \bruch{n-1}{n + 1} [/mm] < 1 für alle n > 0
[mm] \gdw [/mm] 1 > [mm] e^{x(4n + 2)}\bruch{n-1}{n + 1}
[/mm]
Also ist die Folge monoton fallend für x <= 0
Dann die Nullfolge:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2+n}}
[/mm]
Für x < 0 ist [mm] (x*n^2) [/mm] < 0 und damit geht [mm] e^{x*n^2} \rightarrow [/mm] 0 für n [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
Der untere Teil geht gegen uendlich, also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2+n}} \rightarrow [/mm] 0
Also konvergiert meine Reihe dann für x <= 0 und divergiert für x > 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Schnelle Antwort.
> Habe meinen Hintergrund nun im Profil eingetragen (Ich
> Studiere Informatik).
>
> Der Hinweis mit dem Leibnizkriterium war gut. Danke
> nochmal! Ich bin es nun so angegangen:
> Erstmal Zeige ich die Monotonie:
> [mm]\bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}}[/mm] >
> [mm]\bruch{e^{x(n+1)^2}}{\wurzel{(n+1)^2 - (n+1)}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{\wurzel{n^2 - n}}[/mm]
> > [mm]\bruch{e^{2nx + x}}{\wurzel{n^2+n}}[/mm]
> [mm]\gdw \wurzel{\bruch{n+1}{n - 1}}[/mm]
> > [mm]e^{2nx + x}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{n+1}{n - 1}[/mm] > [mm]e^{4nx + 2x}[/mm]
> (Werte sind positiv)
> [mm]\gdw[/mm] 1 > [mm]e^{4nx + 2x}\bruch{n-1}{n + 1}[/mm]
> [mm]\bruch{n-1}{n + 1}[/mm]
> < 1 für alle n > 0
> [mm]\gdw[/mm] 1 > [mm]e^{x(4n + 2)}\bruch{n-1}{n + 1}[/mm]
>
> Also ist die Folge monoton fallend für x <= 0
>
> Dann die Nullfolge:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{\red{n^2+n}}}[/mm]
im Nenner steht eigentlich [mm] $\sqrt{n^2-n}\,.$ [/mm] Das strebt zwar auch gegen [mm] $\infty\,,$ [/mm] bedarf aber einer kleinen Begründung:
Etwa wegen
[mm] $$\sqrt{n^2-n}=\sqrt{n}*\underbrace{\sqrt{n-1}}_{\ge 1 \text{ für }n \ge 2}$$
[/mm]
oder wegen
[mm] $$\sqrt{n^2-n} \ge \sqrt{n^2-(n^2/2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}*n$$
[/mm]
(für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Mo 13.02.2012 | | Autor: | highway |
Stimmt! Danke das du mich darauf aufmerksam gemacht hast.
Viele Grüße
Highway
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie, für welche x [mm]\in \IR[/mm] die Reihe
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} (-1)^n \bruch{e^{x*n^2}}{\wurzel{n^2 - n}}[/mm]
>
> konvergiert, für welche sie divergiert.
im Hinblick auf die Anwendung des Wks berechnen wir
[mm] $$\sqrt[n]{|(-1)^n \exp(x*n^2)/\sqrt{n^2-n}|}=\exp(xn)/\sqrt[n]{\sqrt{n^2-n}}\,.$$
[/mm]
Weil der Nenner [mm] ($\sqrt[n]{\sqrt{n^2-n}}$) [/mm] gegen [mm] $1\,$ [/mm] strebt (warum?), ist er für alle genügend große [mm] $n\,$ [/mm] stets zwischen $0,5$ und [mm] $1,5\,.$ [/mm] Daher gilt
[mm] $$\frac{2}{3}\exp(n*x) \le \sqrt[n]{|(-1)^n \exp(x*n^2)/\sqrt{n^2-n}|} \le 2\exp(n*x)$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem $N [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Für [mm] $x\not=0$ [/mm] kannst Du so folgern:
Für $x < 0$ konvergiert die Reihe absolut (warum?) und für $x > 0$ divergiert sie (warum?). Für [mm] $x=0\,$ [/mm] musst Du nochmal separat nachgucken (was Du aber wohl schonmal woanders gemacht hast: Leibniz ist da naheliegend!).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:29 Di 14.02.2012 | | Autor: | highway |
Vielen Dank für die Hilfe! :) Ich glaube ich habs jetzt.
Viele Grüße
Highway
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