Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Do 29.04.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallo!
Ich frage mich gerade, gegen welchen Wert bzw ob überhaupt [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k*\bruch{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} [/mm] konvergiert..erinnert mich sehr stark an die Expreihe. Hat jemand einen Tip??
Viele Grüße
chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Do 29.04.2010 | | Autor: | chris3 |
sorry Tippfehler: die Reihe sollte heißen
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}k \bruch{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
[/mm]
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Hallo Chris,
nun ja. Für [mm] \lambda=0,01 [/mm] konvergiert sie, auch für 0,8 oder 1 oder 5. 
Was kennst Du denn für Konvergenzkriterien? Was liefern sie hier?
Wenn der Faktor k nicht wäre, hättest Du in der Tat eine Reihe, deren Grenzwert [mm] e^{\lambda} [/mm] ist. Aber so...
Ich finde, erstmal bist Du dran.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 29.04.2010 | | Autor: | chris3 |
also, ich denke nicht, dass das Wurzelkriterium mir weiterhelfen würde. Das Quotientenkriterium auch nicht.. ich will den Grenzwert rausbekommen und müsste es somit nach oben abschätzen, um eine Majorante zu bekommen,oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Do 29.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo
was spricht den gegen das quotientenkriterium? was erhälst du denn als quotient? fasse die reihe am besten als potenzreihe in [mm] $\lambda$ [/mm] aus.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 29.04.2010 | | Autor: | chris3 |
ich muss ja betrachten: [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] und da habe ich raus: [mm] \bruch{k^2}{(k+1)\lambda}..stimmt [/mm] das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Do 29.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo
> ich muss ja betrachten: [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
ja, wenn ihr das so definiert habt (wobei hier natürlich $n = k$ ist) - häufig wird der kehrwert deines quotienten berechnet, aber man kann das kriterium natürlich auch mit dem von dir angegeben quotienten formulieren.
> und da habe
> ich raus: [mm]\bruch{k^2}{(k+1)\lambda}..stimmt[/mm] das?
ja. was sagt das nun, wenn du in das kriterium schaust?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 29.04.2010 | | Autor: | chris3 |
dieser Ausdruck muss kleiner 1 sein, damit konvergenz der reihe gewährleistet ist.. aber wie sehe ich, gegen was das konvergiert??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Do 29.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo
> dieser Ausdruck muss kleiner 1 sein, damit konvergenz der
> reihe gewährleistet ist..
sicher? schau dir das kriterium nochmals genau an (die forderung $< 1$ wäre korrekt, sofern du [mm] $a_{n+1}/a_n$ [/mm] betrachtet hättest).
> aber wie sehe ich, gegen was das
> konvergiert??
schreibe [mm] $\frac{k^2}{k + 1} \cdot \frac{1}{\lambda}$. [/mm] was passiert mit dem ersten bruch, wenn $k$ groß wird?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Do 29.04.2010 | | Autor: | chris3 |
der 1. bruch konvergiert natürlich gegen unendlich...
achso, du meinst, weil ich die koeffizienten vertauscht habe, müsste die Reihe konvergieren, wenn der Quotient größer als 1 ist?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Do 29.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo
> der 1. bruch konvergiert natürlich gegen unendlich...
ja.
> achso, du meinst, weil ich die koeffizienten vertauscht
> habe, müsste die Reihe konvergieren, wenn der Quotient
> größer als 1 ist?!
genau (außer für [mm] $\lambda [/mm] = 0$ - dafür ist hiermit keine aussage möglich, aber dort konvergiert die reihe trivialerweise).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Fr 30.04.2010 | | Autor: | chris3 |
ok! Meine Hauptfrage war ja nun aber, wie ich den Grenzwert der Reihe ermittle und das geht doch am Besten, indem ich das ganze nach oben und nach unten abschätze.wenn dann der grenzwert des nach oben und des nach unten abgeschätzen termes gleich sind, so weiß ich, gegen was die Reihe konvergiert...und genau hier hab ich meine Probleme..wäre sehr nett, wenn ihr mir hier nochmal helfen könntet!
lg chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Fr 30.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich schreibe x statt [mm] \lambda.
[/mm]
Setze [mm] f(x):=\summe_{k=1}^{\infty}k \bruch{x^{k-1}}{(k-1)!}
[/mm]
Dann ist $f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+1) \bruch{x^{k}}{k!}$
[/mm]
Die Potenzreihe rechts konvergiert auf ganz [mm] \IR, [/mm] also ist f eine auf [mm] \IR [/mm] stetige Funktion und besitzt auf [mm] \IR [/mm] somit eine Stammfunktion. Eine solche erhälst Du durch unbestimmtes Integrieren hinter dem Summenzeichen:
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}= \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)\integral_{}^{}{\bruch{x^{k}}{k!} dx}
[/mm]
Führe dies Integration mal aus, dann müßtest Du erhalten:
[mm] $\integral_{}^{}{f(x) dx}= x*e^x$
[/mm]
Dann ist $f(x) = [mm] (1+x)e^x$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Fr 30.04.2010 | | Autor: | chris3 |
wow!! Darauf wär ich wohl nie gekommen!!!
Super und DANKE, DANKE!!!!!!!
Viele Grüße Chris
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