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Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Do 18.03.2010
Autor: ChopSuey

Aufgabe
Gebe alle Parameter $\ [mm] \alpha \in \IR \setminus \{-2\} [/mm] $ an, für die die Reihe

$\ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(2+\alpha)^k} [/mm] $

konvergiert. Für welche $\ [mm] \alpha [/mm] $ konvergiert die Reihe sogar absolut?

Hallo,

Frage vorab: Warum greift hier das Leibniz-Kriterium nicht?
Kann man denn nicht zeigen, dass $\ [mm] \frac{1}{k(2+\alpha)^k} [/mm] $ eine Nullfolge ist?

Jedenfalls wird diese Aufgabe mit dem Quotientenkriterium gelöst und es heißt:

$\ [mm] \lim_{k \to \infty} |\frac{k(2+\alpha)^k}{(k+1)(2+\alpha)^{k+1}}| [/mm] = [mm] \frac{1}{|2+\alpha|} [/mm] $

Doch wo ist $\ [mm] (-1)^k [/mm] $ abgeblieben und wie kommt man denn auf diese Gleichung?
Ich seh's leider nicht.

Würde mich über Tips freuen.
Grüße
ChopSuey

        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Do 18.03.2010
Autor: Roadrunner

Hallo!


> Frage vorab: Warum greift hier das Leibniz-Kriterium nicht?
> Kann man denn nicht zeigen, dass [mm]\ \frac{1}{k(2+\alpha)^k}[/mm] eine Nullfolge ist?

Du müsstest gar zeigen, dass [mm] $\frac{1}{k*(2+\alpha)^k}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.

  

> Jedenfalls wird diese Aufgabe mit dem Quotientenkriterium
> gelöst und es heißt:
>  
> [mm]\ \lim_{k \to \infty} |\frac{k(2+\alpha)^k}{(k+1)(2+\alpha)^{k+1}}| = \frac{1}{|2+\alpha|}[/mm]
>  
> Doch wo ist [mm]\ (-1)^k[/mm] abgeblieben

Das verschwindet (bzw. wurde hier gar nicht erst hingeschrieben) wegen der Betragsstriche. Denn [mm] $\left| \ (-1)^k \ \right| [/mm] \ = \ 1$ .


> und wie kommt man denn auf diese Gleichung?

Siehe []hier.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:01 Do 18.03.2010
Autor: ChopSuey

Hi Roadrunner!

super, vielen Dank.

Mir war klar, weshalb der Bruch und die Betragsstriche. Nur das verschwindende $\ [mm] (-1)^k [/mm] $ und die ganzen Zwischenschritte auf einmal konnte ich nicht nachvollziehen.

Hat sich nun geklärt :-)
Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
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