Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mi 20.12.2006 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | | Untersuche die Reihe [mm] \summe_{k} \bruch{1}{k\wurzel{k}} [/mm] auf Konvergenz |
Hallo, ich bin bisher so weit:
[mm] \summe_{k} \bruch{1}{k\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] a_{k}:= \bruch{1}{k\wurzel{k}}
[/mm]
nach Verdichtungskriterium Gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] ist genau dann konvergent, wenn die verdichtete Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} [/mm] konvergiert:
Da [mm] a_{k}:= \bruch{1}{k\wurzel{k}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{2^{k}}=\bruch{1}{2^{n}\wurzel{2^{n}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} =\summe_{k=0}^{\infty} 2^{k} \bruch{1}{2^{n}\wurzel{2^{n}}}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{2^{n}}}
[/mm]
Wenn ich nun mit dem Quotientenkriterium zeigen möchte ob dies konvergiert
folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\wurzel{2^{n+1}}}{\wurzel{2^{n}}}|
[/mm]
ich betrachte zunächst den Betrag
[mm] |\bruch{\wurzel{2^{n+1}}}{\wurzel{2^{n}}}| [/mm] da [mm] \wurzel{x}>0 \forall x\in [/mm] IR
= [mm] \bruch{\wurzel{2^{n+1}}}{\wurzel{2^{n}}}= \bruch{\wurzel{2^{n} \wurzel{2}}}{\wurzel{2^{n} }}
[/mm]
[mm] =\wurzel{2}
[/mm]
wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lasse tut sich nichts, da [mm] \wurzel{2} [/mm] unabhängig von n ist. d.h Das wurzelkriterium ergibt [mm] \wurzel{2} [/mm] und dass ist größer als 1 [mm] \rightarrow [/mm] divergenz.
Kann ich daraus interpretieren ,dass [mm] \summe_{k} \bruch{1}{k\wurzel{k}} [/mm] divergent ist????
Habe ich mich verrechnet, oder darf ich so gar nicht rechnen????
Im vorraus danke ich euch für eure Mühen
Christoph
PS ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo CPH!
Du wendest das Quotientenkriterium falsch an (wobei ich denke, dass man mit dem Wurzelkriterium hier noch schneller wäre ...):
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2^{n+1}}}}{\bruch{1}{\wurzel{2^n}}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{2^n}}{\wurzel{2^{n+1}}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{\bruch{2^n}{2*2^n}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Do 21.12.2006 | | Autor: | CPH |
Aha, damit hat sich die Frage nach der Divergenz auch erledigt...
Wie funktionierts denn mit dem Wurzelkriterium????
MFG
CH
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo CPH!
[mm] $\wurzel[n]{\left|a_n\right|} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{\wurzel{2^n}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{\wurzel{2^n}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{\wurzel[n]{2^n}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] \ < \ 1$
Gruß
Loddar
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