Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Fredward |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty} (-1)^{v} ln(\bruch{v+1}{v}) [/mm] |
Guten Abend liebe Forengemeinde,
im Rahmen meiner Hausübung zum Modul Analysis 1 hat sich die genannte Aufgabe zu einer echten Knobelei entwickelt.
Absolute Konvergenz schließe ich aus da, betraglich betrachtet, der Ausdruck [mm] ln(\bruch{v+1}{v}) [/mm] sich ähnlich zur harmonischen Reihe entwickelt. Daher habe ich die Idee mittels Minoratenkriterium zu zeigen, dass die Reihe absolut divergiert. Allerdings finde ich keine Abschätzung zur harmonischen Reihe.
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir einen Tipp geben würdet, wie ich eine Abschätzung vornehme.
Vielen Dank und viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fredward,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Muss es denn über das Minorantenkriterium sein?
Ich hätte hier den Vorschlag, mittels Teleskopsumme vorzugehen:
[mm] $\summe_{v=1}^{n}\ln\left(\bruch{v+1}{v}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{v=1}^{n}\left[ \ \ln(v+1)-\ln(v) \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\ln(2)-\ln(1)}+\underbrace{\ln(3)-\ln(2)}+\underbrace{\ln(4)-\ln(3)}+...+\underbrace{\ln(n)-\ln(n-1)}+\underbrace{\ln(n+1)-\ln(n)}$
[/mm]
Was verbleibt dann nur noch als Term, den man dann sehr gut abschätzen kann?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Fredward |
Hallo Loddar,
vielen Dank für deine Antwort.
Folgt aus der Teleskopsumme nun, dass ich diese mit ln(v) abschätzen kann, und dann den [mm] \limes_{v\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \infty [/mm] erhalte?
Viele Grüße
Fredward
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fredward!
> Folgt aus der Teleskopsumme nun, dass ich diese mit ln(v)
> abschätzen kann, und dann den [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\infty[/mm] erhalte?
Du scheinst das Richtige zu meinen, schreibst es aber furchtbar auf.
Zunächst ergibt sich aus der Teleskopsumme: [mm] $\summe_{v=1}^{\red{n}}\ln\left(\bruch{v+1}{v}\right) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \ln(\red{n+1})$
[/mm]
Und dann gilt: [mm] $\summe_{v=1}^{\infty}a_v [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{v=1}^{n}a_v [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\ln(n+1) [/mm] \ = \ [mm] \infty$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Fredward |
Hallo Loddar,
ehrlich gesagt hätte ich vermutlich noch den restlichen Tag damit verbracht, eine Abschätzung zu finden, um es mittels Minoratenkriterium zu zeigen.
Allerdings ist dein Lösungsvorschlag sehr elegant.
vielen Dank für deine Mühe!
Gruß
Fredward
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fredward,
Loddar zeigt ja, wie sich die Reihe mit den Betragssummanden verhält.
Zur Kgz.:
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty} (-1)^{v} ln(\bruch{v+1}{v})[/mm]
[mm] $\ln(\cdot)$ [/mm] ist (streng) wachsend etwa auf [mm] $[1,\infty),$ [/mm] und weil die Folge [mm] $(1+\tfrac{1}{m})_m$ [/mm] (streng) gegen
[mm] $1\,$ [/mm] fällt, ist die Folge
[mm] $(\ln(1+\tfrac{1}{n}))_n$
[/mm]
(streng) fallend gegen [mm] $\ln(1)=0$ [/mm] (Stetigkeit von [mm] $\ln$ [/mm] an der Stelle 1).
Jetzt: Leibni(t)z! (Guten Hunger!)
Gruß,
Marcel
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Teleskopreihe