Konvergenz einer Potenzreihe ? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:45 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Julchen01 |
| Aufgabe | | In welchen der vier Punkte z = [mm] \wurzel{3} [/mm] - i, - [mm] \wurzel{3} [/mm] + i, 4*i, 1 konvergiert die Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{3}+i)^{n}}{n*4^{n}}*z^{n} [/mm] ? |
Hallo !
Hab hier einige Problemchen mit dieser komplexen Potenzreihe :-( ...
a) und b) sind mir eigentlich klar, die hab ich auch selbst geschafft. Hab das z eingesetzt, a bissel rumgerechnet, und bekomm dann die harmonische Reihe raus, und die ist divergent.
bei der b) kommt dann ne alternierende harmonische Reihe raus, und die ist nach Leibnizkriterium konvergent.
c) mit z = 4*i : [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{3}+i)^{n}}{n*4^{n}}*4*i^{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{3}+i)^{n}*(4i)^{n}}{n*4^{n}} [/mm] = ... = (die [mm] 4^{n} [/mm] rausgekürzt) bleibt am Schluß stehn = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{3}*i - 1)^{n}}{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} *{(\wurzel{3}*i - 1)^{n}}
[/mm]
So, und hier beissts aus: wie komm ich von hier aus weiter, wie zeig ich, daß das konvergent / divergent ist !?
d) mit z= 1: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{3}+i)^{n}}{n*4^{n}} [/mm] = ... = (ebenfalls die [mm] 4^{n} [/mm] im Nenner gekürzt) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} *{(\bruch{1}{4}\wurzel{3} + \bruch{1}{4} * i)^{n}}
[/mm]
Ja, und auch hier: wie komm ich weiter, welche Kriterium muss ich anwenden ? *???*
Wär nett, wenn mir einer bei der Lösung helfen könnte, schon mal jetzt vielen lieben Dank !
Hab sowas noch nie gemacht, kam auch nie in der Vorlesung dran, bzw. wird erst in den nächsten paar Wochen kommen, hab also von dem ganzen Schotter keine große Ahnung ...
Grüße !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> In welchen der vier Punkte z = [mm]\wurzel{3}[/mm] - i, - [mm]\wurzel{3}[/mm]
> + i, 4*i, 1 konvergiert die Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{3}+i)^{n}}{n*4^{n}}*z^{n}[/mm]
> ?
> Hallo !
>
> Hab hier einige Problemchen mit dieser komplexen
> Potenzreihe :-( ...
>
> a) und b) sind mir eigentlich klar, die hab ich auch selbst
> geschafft. Hab das z eingesetzt, a bissel rumgerechnet, und
> bekomm dann die harmonische Reihe raus, und die ist
> divergent.
> bei der b) kommt dann ne alternierende harmonische Reihe
> raus, und die ist nach Leibnizkriterium konvergent.
Hattet ihr schon den Konvergenzradius? Mit diesen Infos weisst du, dass der Konvergenzradius hier $2 = [mm] |\sqrt{3} [/mm] - i|$ ist. Also konvergiert die Reihe fuer alle $z$ mit $|z| < 2$ und divergiert fuer alle $z$ mit $|z| > 2$.
LG Felix
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> Hattet ihr schon den Konvergenzradius?
Danke für die schnelle Antwort !
Nein, Konvergenzradius, der Begriff war mir neu ! Hab jetzt bei Google und Wikipedia mal alles gesucht, was damit zu tun hat, aber irgendwie ist es mir nun gar nimmer verständlich ... !? Vielleicht bin ich auch nur ein bisschen schwer von Begriff *g* , oder einfach nur blöd ...
> Mit diesen Infos
> weisst du, dass der Konvergenzradius hier [mm]2 = |\sqrt{3} - i|[/mm]
> ist.
Irgendwie hab ich hier einige Verständnisprobleme ... Nehmen wir mal meinen ersten Punkt zur Untersuchung: Ich hab doch eine Reihe bei meinem ersten Punkt, die lautet:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{3}+i)^{n} * ( \wurzel{3}-i)^{n}}{n\cdot{}4^{n}}
[/mm]
Aber wieso ist hier der Konvergenzradius = 2 = [mm] |\sqrt{3} [/mm] - i| ? Wie kann ich das denn sehen ?
Dann wär bei der b) der Konvergenzradius doch auch 2 = |- [mm] \sqrt{3} [/mm] + i| ?
> Also konvergiert die Reihe fuer alle [mm]z[/mm] mit [mm]|z| < 2[/mm] und divergiert fuer alle [mm]z[/mm] mit [mm]|z| > 2[/mm].
>
Und wie seh ich dann ob das konvergiert, oder divergiert, |z| ist doch hier = 2 ?
Wäre nett, wenn mich hier noch einer ein bisschen aufklären könnte, wäre sehr nett von euch !
Danke schonmal !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Julchen!
> > Hattet ihr schon den Konvergenzradius?
>
> Danke für die schnelle Antwort !
>
> Nein, Konvergenzradius, der Begriff war mir neu ! Hab jetzt
> bei Google und Wikipedia mal alles gesucht, was damit zu
> tun hat, aber irgendwie ist es mir nun gar nimmer
> verständlich ... !? Vielleicht bin ich auch nur ein
> bisschen schwer von Begriff *g* , oder einfach nur blöd
> ...
Die Frage war nur fuer den Fall gedacht, das ihr das schon in der Vorlesung behandelt habt. In dem Fall koenntest du die Aufgabe damit naemlich schoen zuende bringen. Man kann das ganze aber auch ohne Konvergenzradius loesen!
> > Mit diesen Infos
> > weisst du, dass der Konvergenzradius hier [mm]2 = |\sqrt{3} - i|[/mm]
> > ist.
>
> Irgendwie hab ich hier einige Verständnisprobleme ...
Lass das ganze mit dem Konvergenzradius mal. Bzw. warte bis ihr das in der Vorlesung behandelt habt.
Zu der Reihe in c): Du hast ja [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{(\sqrt{3} + i)^n}{n 4^n} [/mm] (4 [mm] i)^n [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{(\sqrt{3} i - 1)^n}{n}$ [/mm] vereinfacht. Jetzt schau dir doch mal den Summanden im Betrag an. Wenn die Reihe konvergieren wuerde (auch die ohne Betrag), dann waere dies eine Nullfolge. Und, ist es eine?
Zu der Reihe in d): Benutz doch mal das Wurzelkriterium! Es ist ja [mm] $\sqrt[n]{\left| \frac{(\sqrt{3} + i)^n}{n \cdot 4^n} \right|} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{ \frac{2^n}{n \cdot 4^n} } [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \sqrt[n]{n}}$. [/mm] Kannst du ueber das Verhalten fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] was aussagen?
LG Felix
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Hi, mal wieder !
Möchte jetzt diese Frage einfach noch mal aufgreifen ! Vielleicht kanns mir ja noch einer erklären !?
Also hab versucht, mir das mit dem Konvergenzradius mal selbst beizubringen (in der Uni durch den Prof. nicht möglich, da dieser einfach nur inkompetent ist ...) . Allerdings komm ich damit nicht so ganz klar, irgendwie ...
Wie kommt man denn hier genau auf diesen Konvergenzradius 2 = [mm] |\sqrt{3} [/mm] - i| ?
Muss ich das hier anwenden : r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} [/mm] | ?
Jetzt setz ich da mein [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] ein ?
Wäre nett, wenn mir das einer plausibel machen könnte, wie das geht  !
Vielen Dank schon mal jetzt !
Liebe Grüße
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Do 11.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julchen!
Mit [mm] $a_n$ [/mm] ist hier die aufzusummierende Koeffizienten-Folge gemeint vor dem [mm] $z_n$ [/mm] ; also:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left( \ \wurzel{3}+i \ \right)^n}{n*4^n}$
[/mm]
Damit gilt auch: [mm] $a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left( \ \wurzel{3}+i \ \right)^{n+1}}{(n+1)*4^{n+1}}$
[/mm]
Dies setzen wir nun in die Formel für den Konvergenzradius ein:
[mm]r \ := \ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\right|[/mm]
Einfacher ginge es hier mit der anderen Formel (Formel von Cauchy-Hadamard), siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier .
Aber bleiben wir bei der von Dir genannten Formel ...
[mm]r \ := \ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \ = \ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{\bruch{\left( \ \wurzel{3}+i \ \right)^n}{n*4^n}}{\bruch{\left( \ \wurzel{3}+i \ \right)^{n+1}}{(n+1)*4^{n+1}}}\right| \ = \ ...[/mm]
Kürzen liefert:
[mm]... \ = \ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{4*(n+1)}{n*\left( \ \wurzel{3}+i \ \right)}\right| \ = \ \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{4*(n+1)}{n}\right|*\bruch{1}{\left| \ \wurzel{3}+i \ \right|} \ = \ ...[/mm]
Und nun berechnen wir die einzelnen Beträge bzw. überlegen, welche Betragsstriche entfallen dürfen:
[mm]... \ =\ \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{4*(n+1)}{n}*\bruch{1}{\wurzel{ \ \left( \ \wurzel{3} \ \right)^2+1^2 \ }} \ = \ \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{4*(n+1)}{n*2} \ = \ 2*\limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n} \ = \ 2*1 \ = \ 2[/mm]
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius der komplexen Potenzreihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}}{i^{k}*\wurzel{k} }*(z- \bruch{i}{2})^{k} [/mm] .
In welchen der Punkte 0, 1, i, -1, -i, [mm] \bruch{i+1}{3} [/mm] konvergiert sie ? |
OK, nachdem ich diese vorherige Aufgabe jezt dann damit ganz gut nachvollziehen konnte, möcht ichs jetzt noch selber mit ner Aufgabe probieren ! Ich hoff mal, daß das auch ganz gut klappt ...
Vielleicht könnt ihr mir hier auch die ein oder andere Hilfestellung geben !?
Ich setz am Anfang wieder mit dieser Formel an:
r := [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\right| [/mm] \ =
Einsetzen und Kürzen wie in der letzten Aufgabe (würd´s ja gern hinschreiben, komm aber nicht so ganz mit dem Formeleditor bei dem Riesen-Teil zurecht) liefert dann:
[mm] |\bruch{i*\wurzel{k+1} }{2*\wurzel{k}} [/mm] | = | [mm] \bruch{i}{2}| [/mm] * | [mm] \bruch{\wurzel{k*(1+1/k)}}{\wurzel{k}}| [/mm] = [mm] |\bruch{i}{2}| [/mm] * [mm] \wurzel{1+ \bruch{1}{k}}
[/mm]
1/k geht jetzt bei k --> [mm] \infty [/mm] gegen 0 daraus folgt, es steht nur noch [mm] |\bruch{i}{2}| [/mm] das dran !?
und dann folgt: r= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Würde das richtig sein !? Oder was hab ich falsch verstanden !? Ok, vielleicht hab ich auch nurn paar Rechenfehler drin ...
Was mach ich jetzt mit meinen gegebenen Punkten ?
Muss ich die jetzt noch in mein z einsetzen und dann das ausrechnen ? Also z.B. |0 - [mm] \bruch{i}{2}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = r ... !?
Oder brauch ich das gar nicht mehr ? Dann würds bei 0 konvergieren, da 0 < r, usw ...
Das versteh ich noch nicht so ganz ... Wäre nett, wenn mir das noch einer sagen könnte !
Danke !
Liebe Grüße !
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 14.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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