Konvergenz einer Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
a) die Folge
[mm]a_{n} := \bruch{(n+1)^2 - n^2}{n} \qquad (n \geq 1)[/mm]
gegen 2 konvergiert.
b) die Folge
[mm]b_{n} := \bruch{1+2^2+\ldots+n^2}{n^3} \qquad (n \geq 1)[/mm]
gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] konvergiert. |
Ich habe lange herumgerätselt, wie ich hier am besten vorgehen sollte – bis ich dann in meinem Mathe-Nachschlagwerk auf die Regel von l'Hospital gestoßen bin. Oder gibt es da ein besseres (= schnellers, effizienteres, kürzeres) Verfahren?
Bei Aufgabenteil a) bin ich mir recht sicher:
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{(n+1)^2 - n^2}{n}[/mm] = [mm]\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{2(n+1) - 2n}{1}[/mm] =[mm]\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{2}{1}[/mm] = 2 [mm]\square[/mm]
In Aufgabenteil b) stöße ich aber im späteren Verlauf auf ein Problem, das ich mir nicht erklären kann. Aber der Reihe nach:
Ich habe bereits zuvor bewiesen, dass gilt:
[mm]1 + 2^2 + \ldots + n^2 = \bruch{2n^3+3n^2+n}{6}[/mm]
Somit kann ich den Term aus [mm]b_{n}[/mm] wie folgt umschreiben:
[mm]b_{n} := \bruch{\bruch{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3} \qquad (n \geq 1)[/mm]
Nun ist die l'Hospital-Voraussetzung [mm]\limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | f(x) \right | = \limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | g(x) \right | = \infty[/mm] erfüllt, sodass ich f'(x) und g'(x) bilden und auf folgendes schließen kann:
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty } = \bruch{\bruch{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3} = \lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{\bruch{n^2+n+1}{6}}{3n^2}[/mm]
Diese Schlussfolgerung ist so doch richtig, oder? (Wenn nicht, dann muss ich bei l'Hospital irgend etwas falsch verstanden haben.)
![[]](/images/popup.gif) Laut Wolfram Alpha ist aber [mm]\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{\bruch{n^2+n+1}{6}}{3n^2} = \bruch{1}{18}[/mm] und nicht [mm]\bruch{1}{3}[/mm] .
Was geht hier schief? Ich sitze nun schon eine ganze Zeit an dieser Aufgabe, möglicherweise bin ich für die (offensichtliche?) Lösung nun schon blind geworden …
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Do 01.11.2012 | | Autor: | chrisno |
> Ich habe lange herumgerätselt, wie ich hier am besten
> vorgehen sollte – bis ich dann in meinem
> Mathe-Nachschlagwerk auf die Regel von l'Hospital gestoßen
> bin. Oder gibt es da ein besseres (= schnellers,
> effizienteres, kürzeres) Verfahren?
In welchem Zusammenhang musst Du diese Aufgabe lösen? Ich glaube kaum, dass Du auf dem richtigen Weg bist. Welche Voraussetzungen hast Du zur Verfügung?
Zu Aufgabe a) multiplizier im Zähler aus, sortiere die Potenzen von n und schreibe den Bruch dann als Summe einfacher Brüche. Betrachte die Grenzwerte einzeln.
> ....
> In Aufgabenteil b) stöße ich aber im späteren Verlauf
> auf ein Problem, das ich mir nicht erklären kann. Aber der
> Reihe nach:
>
> Ich habe bereits zuvor bewiesen, dass gilt:
>
> [mm]1 + 2^2 + \ldots + n^2 = \bruch{2n^3+3n^2+n}{6}[/mm]
Egal,was Du weiter machst, das ist ein guter Anfang
>
> Somit kann ich den Term aus [mm]b_{n}[/mm] wie folgt umschreiben:
>
> [mm]b_{n} := \bruch{\bruch{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3} \qquad (n \geq 1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") nur ist der Doppelbruch so unnötig, beseitige ihn mal
>
> Nun ist die l'Hospital-Voraussetzung [mm]\limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | f(x) \right | = \limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | g(x) \right | = \infty[/mm]
> erfüllt, sodass ich f'(x) und g'(x) bilden und auf
> folgendes schließen kann:
Geh mal ganz im Detail durch, was Du da geschrieben hast. Nur ein Hinweis: was ist x?
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty } = \bruch{\bruch{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3} = \lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{\bruch{n^2+n+1}{6}}{3n^2}[/mm]
>
> Diese Schlussfolgerung ist so doch richtig, oder? (Wenn
> nicht, dann muss ich bei l'Hospital irgend etwas falsch
> verstanden haben.)
Wenn man sich das alles zurechtsortiert, geht es auch mit l'Hospital. Du hast eine Ableitung falsch berechnet.
>
> Laut Wolfram Alpha
> ist aber [mm]\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{\bruch{n^2+n+1}{6}}{3n^2} = \bruch{1}{18}[/mm]
> und nicht [mm]\bruch{1}{3}[/mm] .
Bloß sieht man das doch schon auf dem ersten Blick, viel schneller als ein Klick.
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{\bruch{n^2+n+1}{6}}{3n^2} =
\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{n^2+n+1}{6 \cdot 3n^2} =
\lim_{n\rightarrow \infty } \left( \bruch{n^2}{18 n^2}+\bruch{n}{18 n^2}+\bruch{1}{18 n^2} \right) = \lim_{n\rightarrow \infty } \left( \bruch{1}{18}+\bruch{1}{18 n}+\bruch{1}{18 n^2} \right) = \ldots[/mm] Was passiert mit den drei Termen, wenn n über alle Grenzen wächst?
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Hallo chrisno,
danke für Deine Hilfe.
> In welchem Zusammenhang musst Du diese Aufgabe lösen? Ich
> glaube kaum, dass Du auf dem richtigen Weg bist. Welche
> Voraussetzungen hast Du zur Verfügung?
Das sind "nur" vorlesungsbegleitende Übungsaufgaben für mein Studium (u. a. mit Mathematik als Nebenfach).
Warum glaubst Du, dass ich nicht au fdem richtigen Weg bin? Habe ich Aufgabe a) falsch gelöst? Oder meinst Du, dass ich es mir beim Lösen zu schwer mache? Da hättest Du wohl recht – leider fällt es mir oft noch schwer, das passenste Lösungsverfahren zu wählen …
>
> Zu Aufgabe a) multiplizier im Zähler aus, sortiere die
> Potenzen von n und schreibe den Bruch dann als Summe
> einfacher Brüche. Betrachte die Grenzwerte einzeln.
Jetzt sieht das Ganze tatsächlich schon wesentlich simpler aus:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)^2 - n^2}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n + 1}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \left ( \bruch{2n}{n} + \bruch{1}{n} \right ) = \limes_{n\rightarrow\infty} \left ( 2 + \bruch{1}{n} \right ) = 2[/mm]
Stimmt so, oder?
> > Somit kann ich den Term aus [mm]b_{n}[/mm] wie folgt umschreiben:
> >
> > [mm]b_{n} := \bruch{\bruch{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3} \qquad (n \geq 1)[/mm]
>
> nur ist der Doppelbruch so unnötig, beseitige ihn
> mal
Da geb ich Dir recht:
[mm]b_{n} := \bruch{2n^3+3n^2+n}{6n^3} \qquad (n \geq 1)[/mm]
> >
> > Nun ist die l'Hospital-Voraussetzung [mm]\limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | f(x) \right | = \limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | g(x) \right | = \infty[/mm]
> > erfüllt, sodass ich f'(x) und g'(x) bilden und auf
> > folgendes schließen kann:
> Geh mal ganz im Detail durch, was Du da geschrieben hast.
> Nur ein Hinweis: was ist x?
Stimmt, das ist so natürlich nicht richtig. Wohl aber:
[mm]\limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | f(n) \right | = \limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | g(n) \right | = \infty[/mm]
Außerdem möglich, in diesem Fall aber nicht zutreffend:
[mm]\limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | f(n) \right | = \limes_{n\rightarrow n_{0}} = \left | g(n) \right | = 0[/mm]
> Bloß sieht man das doch schon auf dem ersten Blick, viel
> schneller als ein Klick.
Das "viel schneller" macht wohl die Übung  , aber ich muss zugeben, dass ich das jetzt, nachdem Du den Term aufgedröselt hast, auch sehe:
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{\bruch{n^2+n+1}{6}}{3n^2} = \lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{n^2+n+1}{6 \cdot 3n^2} = \lim_{n\rightarrow \infty } \left( \bruch{n^2}{18 n^2}+\bruch{n}{18 n^2}+\bruch{1}{18 n^2} \right) = \lim_{n\rightarrow \infty } \left( \bruch{1}{18}+\bruch{1}{18 n}+\bruch{1}{18 n^2} \right) = \ldots[/mm]
> Was passiert mit den drei Termen, wenn n über alle Grenzen
> wächst?
Der Grenzwert von [mm]\bruch{1}{18n}[/mm] und [mm]\bruch{1}{18n^2}[/mm] ist offensichtlich 0. Der Grenzwert von [mm]\bruch{1}{18}[/mm] ist die Konstante selbst, also [mm]\bruch{1}{18}[/mm] .
Also, alles auf Anfang – neuer Versuch für Aufgabenteil b):
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{2n^3+3n^2+n}{6n^3} =\lim_{n\rightarrow \infty } \bruch{2n^2+3n+1}{6n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty} \left ( \bruch{2n^2}{6n^2} + \bruch{3n}{6n^2} + \bruch{1}{6n^2} \right ) = \limes_{n\rightarrow\infty} \left ( \bruch{1}{3} + \bruch{1}{2n} + \bruch{1}{6n^2} \right ) = \bruch{1}{3}[/mm]
Jetzt, wo ich das sehe, ist das alles auch mehr als offensichtlich.
l'Hospital wäre dann in diesem Fall wohl die Mit-Kanonen-auf-Spatzen-schießen-Methode.
Vielen Dank nochmals für's "Augen öffnen"!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > [mm]b_{n} := \bruch{\bruch{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3} \qquad (n \geq 1)[/mm]
ich hab' das nun nicht alles gelesen, aber ich schreib' Dir auch mal
"ausführlichst", wie das mit de l'Hospital geht:
Anstatt [mm] $b_n= \bruch{\bruch{2n^3+3n^2+n}{6}}{n^3} \qquad [/mm] (n [mm] \geq [/mm] 1)$
betrachten wir
$$f(x):= [mm] \bruch{\bruch{2x^3+3x^2+x}{6}}{x^3} \qquad [/mm] (x [mm] \geq 1)\,.$$
[/mm]
Falls wir zeigen können, dass [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)$ [/mm] existiert und wir
diesen berechnen können, dann folgt auch, dass
[mm] $$\lim_{\substack{n \to \infty\\n \in \IN}}f(n)=\lim_{n \to \infty}b_n$$
[/mm]
existiert und dass diese beiden Grenzwerte übereinstimmen.
(Beachte, dass [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)$ [/mm] etwas "sehr viel stärkeres" ist als
"nur" der [mm] $\lim_{\substack{n \to \infty\\n \in \IN}}f(n)\,.$)
[/mm]
Für [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)$ [/mm] zu berechnen dürfen wir uns (mehrmals) der
Regel von de l'Hospital bedienen (warum?):
[mm] $$\lim_{x \to \infty}f(x)=\frac{1}{6}*\lim_{x \to \infty}\frac{6x^2+6x+1}{3x^2}=\frac{1}{6}*\lim_{x \to \infty}\frac{12x+6}{6x}=\frac{1}{6}*\lim_{x \to \infty}\frac{12}{6}=\frac [/mm] 1 [mm] 3\,.$$
[/mm]
Dass wir hier dreimal (eigentlich jedes Mal in UNNÖTIGER Weise) de
l'Hospital angewendet haben, ändert ja nichts dran, dass wir das machen
durften - und siehe da: Das richtige Ergebnis erhalten wir so auch!
P.S.:
Solche "Trivialbeispiele" sind eigentlich immer gut, um zu testen, ob die
Regel von de l'Hospital wirklich auch so gilt (wenn man, trotz eines
Beweises, immer noch nicht von der Richtigkeit überzeugt sein sollte):
So kann man etwa
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x}{x^2-1}=1$$
[/mm]
einmal "direkt" nachrechnen:
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x}{x^2-1}=\lim_{x \to \infty} \frac{x*(x-1)}{(x+1)*(x-1)}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{(x+1)}=\frac{1}{\lim_{x \to \infty} (x/x\;+1/x)}=\frac{1}{\lim_{x \to \infty}1+\lim_{x \to \infty}1/x}=1/(1+0)=1\,.$$
[/mm]
(Auch das ist nun nicht der eleganteste Weg - eigentlich kann man sich hier
"auch den Umweg" mit dem "Wegkürzen" von [mm] $x-1\,$ [/mm] sparen!)
Oder man guckt mal, was de l'Hospital sagt:
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x}{x^2-1}=\lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{2x}=\lim_{x \to \infty} \frac{2}{2}=\lim_{x \to \infty} 1=1\,.$$
[/mm]
Beachte aber, dass Du bei jeder Anwendung von de l'Hospital prüfen
musst, ob die Voraussetzungen zur Anwendung gegeben sind.
So macht es etwa keinen Sinn, bei:
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{5+\frac{1}{x}}$$
[/mm]
l'Hospital anzuwenden:
Es ist [mm] $\lim_{x \to \infty} (2x)=\infty\,,$ [/mm] die "Zählerfunktion" strebt also
[mm] $\to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty\,,$ [/mm] die Nennerfunktion aber gegen [mm] $5\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Danke für die ausführliche Erklärung, Marcel!
Das zeigt mir aber auch, dass ich l'Hospital nicht komplett falsch angewendet habe – insbesondere bei Aufgabe a)
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> Zeigen Sie, dass
>
>
> a) die Folge
>
> [mm]a_{n} := \bruch{(n+1)^2 - n^2}{n} \qquad (n \geq 1)[/mm]
>
> gegen 2 konvergiert.
>
>
> b) die Folge
>
> [mm]b_{n} := \bruch{1+2^2+\ldots+n^2}{n^3} \qquad (n \geq 1)[/mm]
>
> gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] konvergiert.
>
>
>
> Ich habe lange herumgerätselt, wie ich hier am besten
> vorgehen sollte – bis ich dann in meinem
> Mathe-Nachschlagwerk auf die Regel von l'Hospital gestoßen
> bin.
Hallo,
diese Regel ist oft ungemein nützlich.
Doch ich gehe ganz stark davon aus, daß Du diese Regel überhaupt nicht anwenden darfst:
Du darfst sie anwenden, wenn sie in der Vorlesung besprochen wurde, und es sieht mir so aus, als wäret Ihr noch ein ganzes Stück davon entfernt.
Generell darfst Du nur verwenden, was in der Vorlesung dran war.
Wer in der Vorlesung das Differenzieren noch nicht hatte, kann bzw. darf nicht differenzieren in den Übungsaufgaben,
und solange das Differenzieren nicht dran war, kann auch L'Hospital nicht besprochen worden sein.
L'Hospital ist im Moment für Dich nicht "mit Kanonen auf Spatzen geschossen", sondern verboten. Da gibt's 0 Punkte für.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Angela,
danke für Deine Mitteilung.
> diese Regel ist oft ungemein nützlich.
>
> Doch ich gehe ganz stark davon aus, daß Du diese Regel
> überhaupt nicht anwenden darfst:
> Du darfst sie anwenden, wenn sie in der Vorlesung
> besprochen wurde, und es sieht mir so aus, als wäret Ihr
> noch ein ganzes Stück davon entfernt.
> Generell darfst Du nur verwenden, was in der Vorlesung
> dran war.
Tatsächlich sind wir noch nicht so weit. (Ich nehme an, dass Du das am Schwierigkeitsgrad und/oder der Art der Aufgabe gesehen hast.)
Ich dachte mir allerdings, dass ich lieber etwas nutze, von dem ich weiß, dass es gilt und zur Lösung führt, als wenn ich die Aufgabe ganz ungelöst lasse. Generell ist mir aber schon bewusst, dass unser Dozent erst einmal die Gültigkeit von in diesem Fall l'Hospital zeigen will/muss, bevor wir davon auch Gebrauch machen dürfen.
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> Ich dachte mir allerdings, dass ich lieber etwas nutze, von
> dem ich weiß, dass es gilt und zur Lösung führt, als
> wenn ich die Aufgabe ganz ungelöst lasse.
Hallo,
klar!
Der l'Hospital hat übrigens tiefe Wunden in meinem Ego hinterlassen:
ich hatt' damals auch so eine Aufgabe mit dem in einem Buch gefundenen l'Hospital gelöst - oder sogar die gerechnete Aufgabe aus dem Buch abgeschrieben.
Die drei roten Fragezeichen und die 0P., die ich beim Wiederherausbekommen meiner HÜ erblickte, schmerzen noch heute, über 30 Jahre später...
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Angela,
>
> danke für Deine Mitteilung.
>
>
> > diese Regel ist oft ungemein nützlich.
> >
> > Doch ich gehe ganz stark davon aus, daß Du diese Regel
> > überhaupt nicht anwenden darfst:
> > Du darfst sie anwenden, wenn sie in der Vorlesung
> > besprochen wurde, und es sieht mir so aus, als wäret Ihr
> > noch ein ganzes Stück davon entfernt.
> > Generell darfst Du nur verwenden, was in der Vorlesung
> > dran war.
>
> Tatsächlich sind wir noch nicht so weit. (Ich nehme an,
> dass Du das am Schwierigkeitsgrad und/oder der Art der
> Aufgabe gesehen hast.)
>
> Ich dachte mir allerdings, dass ich lieber etwas nutze, von
> dem ich weiß, dass es gilt und zur Lösung führt, als
> wenn ich die Aufgabe ganz ungelöst lasse. Generell ist mir
> aber schon bewusst, dass unser Dozent erst einmal die
> Gültigkeit von in diesem Fall l'Hospital zeigen will/muss,
> bevor wir davon auch Gebrauch machen dürfen.
das stimmt nicht ganz: Wenn Du bei Deinem Übungsblatt zuvor selbst
Differenzierbarkeit einführst etc. pp., und auch selbst den l'Hospital
beweist, dann darfst Du ihn auch benutzen.
Ob das die Aufgabe allerdings Wert ist, sei mal dahingestellt...
(Insbesondere sollte man nach "einfacheren Mitteln" suchen, wenn man
merkt, dass man zum Lösen der Aufgabe erstmal selbst eine
Vorlesungsstunde halten müsste, wenn man sie auf dem vorgeschlagenen
Weg löst!)
P.S. Irgendwann hatte ich das tatsächlich auch mal so bei einer Aufgabe
gemacht, dass ich erst etwas bewiesen hatte, was in der Vorlesung noch
nicht behandelt worden war: Ich weiß nur nicht mehr, was. Eventuell
war es der Mittelwertsatz, aber wir waren dann auch in der Vorlesung
schon so weit, dass das eh mit etwa 'ner Viertel Seite erledigt war...
Gruß,
Marcel
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