Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 07.02.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Untersuche
[mm] $a_n:=(n+1)^n-n^n$ [/mm]
auf Konvergenz. |
So, nach einer Ewigkeit bin ich auf diesen Ansatz gekommen:
--
Nebenrechnung:
[mm] $(n+1)^n=\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!\ k!}*n^k$
[/mm]
Für den Fall $k=n$ erhält man [mm] $n^n$ [/mm] und [mm] $n^k [/mm] > 1$.
Dann schätze ich das ganze so ab:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!\ k!}*n^k [/mm] > [mm] \left( \summe_{k=1}^{n-1}\bruch{n!}{(n-k)!\ k!}\right)+n^n [/mm] = [mm] 2^n+n^n$
[/mm]
--
Dann bekomme ich:
[mm] $(n+1)^n-n^n\ [/mm] >\ [mm] 2^n+n^n-n^n=2^n$
[/mm]
Da [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} 2^n=\infty$
[/mm]
divergiert auch die Folge [mm] $(n+1)^n-n^n$.
[/mm]
Ist die Argumentation so richtig, also auch richtig begründet?
Muss ich jetzt noch zeigen, dass meine Folge monton steigt oder kann man das als offensichtlich ansehen?
Vielen Dank und lg!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche
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> [mm]a_n:=(n+1)^n-n^n[/mm]
>
> auf Konvergenz.
> So, nach einer Ewigkeit bin ich auf diesen Ansatz
> gekommen:
>
> --
> Nebenrechnung:
>
> [mm](n+1)^n=\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!\ k!}*n^k[/mm]
>
> Für den Fall [mm]k=n[/mm] erhält man [mm]n^n[/mm] und [mm]n^k > 1[/mm].
> Dann
> schätze ich das ganze so ab:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!\ k!}*n^k > \left( \summe_{k=1}^{n-1}\bruch{n!}{(n-k)!\ k!}\right)+n^n = 2^n+n^n[/mm]
In beiden Summen oben, sollt die Summation mit k=0 beginnen
>
> --
> Dann bekomme ich:
>
> [mm](n+1)^n-n^n\ >\ 2^n+n^n-n^n=2^n[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2^n=\infty[/mm]
> divergiert auch
> die Folge [mm](n+1)^n-n^n[/mm].
>
> Ist die Argumentation so richtig, also auch richtig
> begründet?
Alles O.k.
FRED
> Muss ich jetzt noch zeigen, dass meine Folge monton steigt
> oder kann man das als offensichtlich ansehen?
>
> Vielen Dank und lg!!
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