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Konvergenz einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 So 01.04.2007
Autor: feuerbach07

Aufgabe
Warum konvergiert [mm] \wurzel[n]{n^{4}} [/mm] gegen 1 für n [mm] \to \infty? [/mm]

siehe oben...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Konvergenz einer Folge: erste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 So 01.04.2007
Autor: Loddar

Hallo feuerbach,

[willkommenmr] !!


Es gilt ja:   [mm] $\wurzel[n]{n^4} [/mm] \ = \ [mm] n^{\bruch{4}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(n)} \ \right]^{\bruch{4}{n}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{4*\ln(n)}{n}}$ [/mm]


Und nun betrachte [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4*\ln(n)}{n} [/mm] \ = \ [mm] 4*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\ln(n)}{n}$ [/mm] (Hinweis: MBde l'Hospital).


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Konvergenz einer Folge: 2. Weg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 So 01.04.2007
Autor: nsche

[mm]\wurzel[n]{n^{4}} = \wurzel[n]{nnnn}=\wurzel[n]{n} \wurzel[n]{n}\wurzel[n]{n}\wurzel[n]{n}[/mm]

wenn du weißt. dass
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}= 1 [/mm]
und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a, und \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}b_{n}) = ab[/mm]
kommst du auch zum Ziel, dennoch: Loddars [mm] e^{....} [/mm] Ansatz hat schon was!

vG
Norbert

Bezug
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