Konvergenz Zufallsvariablen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 29.09.2013 | | Autor: | Tipsi |
| Aufgabe | | [mm](X_n)[/mm] sei eine Folge von unabhängigen, auf [0,1] gleichverteilten Zufallsvariablen. Gegen welchen Wert konvergiert [mm](\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}[/mm]? |
Meine Vermutung ist, dass das Ganze gegen 1 konvergiert, aber ich weiß nicht ob das stimmt bzw. wie ich es begründen soll.
Kann ich hier das 2. Lemma von Borel-Cantelli anwenden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> [mm](X_n)[/mm] sei eine Folge von unabhängigen, auf [0,1]
> gleichverteilten Zufallsvariablen. Gegen welchen Wert
> konvergiert [mm](\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}[/mm]?
> Meine Vermutung
> ist, dass das Ganze gegen 1 konvergiert, aber ich weiß
> nicht ob das stimmt bzw. wie ich es begründen soll.
> Kann ich hier das 2. Lemma von Borel-Cantelli anwenden?
Versuch es doch erstmal mit elementaren Sätzen. Wenn du auf das Produkt den Logarithmus anwendest, wird daraus eine Summe. Überprüfe, ob du das starke Gesetz der großen Zahlen anwenden kannst.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 29.09.2013 | | Autor: | Tipsi |
> Hallo,
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> > [mm](X_n)[/mm] sei eine Folge von unabhängigen, auf [0,1]
> > gleichverteilten Zufallsvariablen. Gegen welchen Wert
> > konvergiert [mm](\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}[/mm]?
> > Meine
> Vermutung
> > ist, dass das Ganze gegen 1 konvergiert, aber ich weiß
> > nicht ob das stimmt bzw. wie ich es begründen soll.
> > Kann ich hier das 2. Lemma von Borel-Cantelli anwenden?
>
> Versuch es doch erstmal mit elementaren Sätzen. Wenn du
> auf das Produkt den Logarithmus anwendest, wird daraus eine
> Summe.
Okay, ja, wenn ich logarithmiere, erhalte ich [mm]\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n lg(X_i)[/mm]
Überprüfe, ob du das starke Gesetz der großen
> Zahlen anwenden kannst.
Kann ich für [mm]\mu(X_i)[/mm] 0 nehmen?
Und [mm]E(X_i) [/mm]ist ja [mm]= \integral X d\mu[/mm]. Ich hab aber leider noch nicht ganz verstanden, wie man solche Integrale bei gegebener Wahrscheinlichkeitsfunktion konkret berechnet (wie man da einsetzt). Ich weiß zwar, dass gilt: [mm]\integral f d\mu = sup \{\integral t d\mu: 0<=t<=f,\quad t \quad Treppenfunktion\} [/mm], aber nicht, wie man da damit rechnet.
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Danke für deine Hilfe, LG
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Hiho,
> Kann ich für [mm]E(X_i)[/mm] 0 nehmen?
Klar kannst du. Das wäre zwar falsch, aber wenn es dir Spaß macht.
1.) Was ist [mm] $E[X_i]$? [/mm] Die [mm] X_i [/mm] sind doch gleichverteilt auf [0,1]!
2.) Du brauchst aber [mm] $E[\log(X_i)]$, [/mm] rechne also lieber das aus.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 30.09.2013 | | Autor: | Tipsi |
Sorry, das mit E(X) war ein Fehler, den ich gleich darauf dann editiert hab. Ich hab gemeint [mm]\mu(X_i) = 0[/mm], weil doch zwischen 0 und 1 unendlich viele Zufallsvariablen liegen, die alle gleiche Wahrscheinlichkeit haben, das heißt, die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen konvergiert gegen 0.
Kann das sein?
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Hiho,
> Sorry, das mit E(X) war ein Fehler
ok, vergessen wir das.
> Ich hab gemeint [mm]\mu(X_i) = 0[/mm], weil doch
> zwischen 0 und 1 unendlich viele Zufallsvariablen liegen,
> die alle gleiche Wahrscheinlichkeit haben, das heißt, die
> Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen konvergiert gegen 0.
> Kann das sein?
Ok, der Absatz ist, verzeih den Ausdruck, total sinnlos.
1.) Was ist [mm] $\mu(X_i)$? [/mm] Ich vermute mal [mm] \mu [/mm] soll das W-Maß sein. Wie sollst du das Maß einer Zufallsvariablen bestimmen? Wie sollen zwischen 0 und 1 unendlich viele Zufallsvariablen liegen? 0 und 1 sind reelle Zahlen.
Dazwischen liegen nur andere reelle Zahlen, aber keine Zufallsvariablen.
Nun genug sinnloses Zeug gepostet, sei mal konstruktiv.
Wieso ignorierst du die Hinweise, die dir gegeben wurden?
Den Logarithmus hast du ja bereits angewendet. Was sagt dir nun das starke Gesetz der großen Zahlen über Ausdrücke der Form.
[mm] $\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_k$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 30.09.2013 | | Autor: | Tipsi |
Danke für eure Hilfe
>
> > Sorry, das mit E(X) war ein Fehler
>
> ok, vergessen wir das.
>
> > >
> Nun genug sinnloses Zeug gepostet, sei mal konstruktiv.
> Wieso ignorierst du die Hinweise, die dir gegeben wurden?
Sry, wollte ich nicht.
>
> Den Logarithmus hast du ja bereits angewendet. Was sagt dir
> nun das starke Gesetz der großen Zahlen über Ausdrücke
> der Form.
>
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_k[/mm] ?
Es sagt mir, dass, wenn alle [mm]Y_i[/mm] den gleichen Erwartungswert besitzen (was hier zutrifft, da sie ja gleichverteilt sind), die arithmetischen Mittel [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_k[/mm] [mm]\mu-[/mm]fast sicher gegen den Erwartungswert konvergieren...
>
>
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Hiho,
> > [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_k[/mm] ?
>
> Es sagt mir, dass, wenn alle [mm]Y_i[/mm] den gleichen Erwartungswert besitzen (was hier zutrifft, da sie ja gleichverteilt sind), die arithmetischen Mittel [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_k[/mm] [mm]\mu-[/mm]fast sicher gegen den Erwartungswert konvergieren...
Soweit so gut, einige Fragen sind aber noch offen:
1.) Unter welchen Voraussetzungen an die [mm] $Y_i$?
[/mm]
2.) Was sind die [mm] Y_i [/mm] bei dir?
3.) Erfüllen diese die Voraussetzungen aus 1.) ?
4.) Was ist demzufolge [mm] $E[Y_i]$?
[/mm]
Beantworte die Fragen erstmal, dann sehen wir weiter.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mo 30.09.2013 | | Autor: | Tipsi |
> Hiho,
>
> > > [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_k[/mm] ?
> >
> > Es sagt mir, dass, wenn alle [mm]Y_i[/mm] den gleichen
> Erwartungswert besitzen (was hier zutrifft, da sie ja
> gleichverteilt sind), die arithmetischen Mittel
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^n Y_k[/mm] [mm]\mu-[/mm]fast sicher gegen den
> Erwartungswert konvergieren...
>
> Soweit so gut, einige Fragen sind aber noch offen:
>
> 1.) Unter welchen Voraussetzungen an die [mm]Y_i[/mm]?
Sie müssen unabhängig sein
Es muss [mm]\sum_{n\in N} \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n\in N} \frac{E((X_n-E(X_n))^2)}{n^2}<\infty[/mm]
> 2.) Was sind die [mm]Y_i[/mm] bei dir?
Das wären dann wohl die [mm]lg(X_i)[/mm]?
> 3.) Erfüllen diese die Voraussetzungen aus 1.) ?
unabhängig sind sie.
Der zweite Punkt ist vermutlich auch erfüllt, aber ich bin mir eben bei [mm] E(X_i) [/mm] nicht sicher. Der lg(1) ist jedenfalls 0 und für x<1 ist lg(x) negativ, also wird der Punkt für [mm]Y_i[/mm] erfüllt sein, da der Erwartungswert für [mm]X_i[/mm] ja auch nur zwischen 0 und 1 liegen kann. Macht es denn nichts, dass lg(0) nicht definiert ist?
> 4.) Was ist demzufolge [mm]E[Y_i][/mm]?
Weiß nicht, aber er konvergiert gegen [mm]Y_i[/mm].
> Beantworte die Fragen erstmal, dann sehen wir weiter.
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> > 1.) Unter welchen Voraussetzungen an die [mm]Y_i[/mm]?
> Sie müssen unabhängig sein
> Es muss [mm]\sum_{n\in N} \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n\in N} \frac{E((X_n-E(X_n))^2)}{n^2}<\infty[/mm]
Wenn ihr das so definiert habt.
Aber du hast wieder unsauber gearbeitet!
Wie kann in einem Satz für beliebige [mm] Y_i [/mm] eine Bedingung für (unbekannte) [mm] X_i [/mm] vorkommen?
Bitte arbeite sauber, das macht es uns, aber vorallem DIR einfacher.
> > 2.) Was sind die [mm]Y_i[/mm] bei dir?
> Das wären dann wohl die [mm]lg(X_i)[/mm]?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Eine Bitte: Nutze doch den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln$, [/mm] das macht es für allgemeine Berechnungen einfacher.
> > 3.) Erfüllen diese die Voraussetzungen aus 1.) ?
> unabhängig sind sie.
Warum?
> Der zweite Punkt ist vermutlich auch erfüllt, aber ich bin
> mir eben bei [mm]E(X_i)[/mm] nicht sicher. Der lg(1) ist jedenfalls
> 0 und für x<1 ist lg(x) negativ, also wird der Punkt für
> [mm]Y_i[/mm] erfüllt sein, da der Erwartungswert für [mm]X_i[/mm] ja auch
> nur zwischen 0 und 1 liegen kann. Macht es denn nichts,
> dass lg(0) nicht definiert ist?
Ok, erstmal vorweg: Du musst [mm] $\text{Var}(Y_i)$ [/mm] gar nicht bestimmen. Das ist eh für alle gleich, weil die [mm] Y_i [/mm] alle gleichverteilt sind. Demzufolge ist sofort mit [mm] $c=\text{Var}(Y_i)$:
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^\infty \bruch{\text{Var}(Y_i)}{n^2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^\infty \bruch{c}{n^2} [/mm] = [mm] c\summe_{i=1}^\infty \bruch{1}{n^2}$
[/mm]
Und nun wieder du.
Dann: Wie bestimmt du [mm] $E[Y_i] [/mm] = [mm] E[\ln(X_i)]$?
[/mm]
Wie bestimmt man denn allgemein für eine meßbare Funktion f den Wert von [mm] $E\left[f(X)\right]$, [/mm] wenn man die Dichte von X kennt?
> > 4.) Was ist demzufolge [mm]E[Y_i][/mm]?
> Weiß nicht, aber er konvergiert gegen [mm]Y_i[/mm].
Die Aussage ist wieder Blödsinn. [mm] E[Y_i] [/mm] ist eine konstante Zahl, die konvergiert höchstens gegen sich selbst, aber ganz bestimmt nicht gegen eine Zufallsvariable.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Di 01.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
> > > 1.) Unter welchen Voraussetzungen an die [mm]Y_i[/mm]?
> > Sie müssen unabhängig sein
> > Es muss [mm]\sum_{n\in N} \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n\in N} \frac{E((X_n-E(X_n))^2)}{n^2}<\infty[/mm]
>
> Wenn ihr das so definiert habt.
> Aber du hast wieder unsauber gearbeitet!
> Wie kann in einem Satz für beliebige [mm]Y_i[/mm] eine Bedingung
> für (unbekannte) [mm]X_i[/mm] vorkommen?
>
> Bitte arbeite sauber, das macht es uns, aber vorallem DIR
> einfacher.
Gut, hier haben wir dann [mm] \sum_{n\in N} \frac{V(Y_n)}{n^2} = \sum_{n\in N} \frac{E((Y_n-E(Y_n))^2)}{n^2}<\infty [/mm]
>
> > > 2.) Was sind die [mm]Y_i[/mm] bei dir?
> > Das wären dann wohl die [mm]lg(X_i)[/mm]?
>
>
> Eine Bitte: Nutze doch den natürlichen Logarithmus [mm]\ln[/mm],
> das macht es für allgemeine Berechnungen einfacher.
Okay, [mm]Y_i = ln(X_i)[/mm]
>
> > > 3.) Erfüllen diese die Voraussetzungen aus 1.) ?
> > unabhängig sind sie.
>
> Warum?
Ich würde sagen, ich muss zeigen, dass [mm] P(Y_j/Y_k) [/mm] = [mm] P(Y_j)*P(Y_k). [/mm]
So wie ich dein Schreiben vorhing verstanden habe, können die Zufallsvariablen keine Werte zwischen 0 und 1 annehmen, sondern nur 0 und 1 und demnach haben wir P=0,5 oder?
>
> > Der zweite Punkt ist vermutlich auch erfüllt, aber ich bin
> > mir eben bei [mm]E(X_i)[/mm] nicht sicher. Der lg(1) ist jedenfalls
> > 0 und für x<1 ist lg(x) negativ, also wird der Punkt für
> > [mm]Y_i[/mm] erfüllt sein, da der Erwartungswert für [mm]X_i[/mm] ja auch
> > nur zwischen 0 und 1 liegen kann. Macht es denn nichts,
> > dass lg(0) nicht definiert ist?
>
> Ok, erstmal vorweg: Du musst [mm]\text{Var}(Y_i)[/mm] gar nicht
> bestimmen. Das ist eh für alle gleich, weil die [mm]Y_i[/mm] alle
> gleichverteilt sind. Demzufolge ist sofort mit
> [mm]c=\text{Var}(Y_i)[/mm]:
>
> [mm]\summe_{i=1}^\infty \bruch{\text{Var}(Y_i)}{n^2} = \summe_{i=1}^\infty \bruch{c}{n^2} = c\summe_{i=1}^\infty \bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> Und nun wieder du.
>
> Dann: Wie bestimmt du [mm]E[Y_i] = E[\ln(X_i)][/mm]?
> Wie bestimmt
> man denn allgemein für eine meßbare Funktion f den Wert
> von [mm]E\left[f(X)\right][/mm], wenn man die Dichte von X kennt?
Also, alles was wir dazu in den Unterlagen haben, ist [mm]E(X)=\integral X dP[/mm]. (Und wie gesagt ist mir bei sowas nicht klar, wie man das mit dem P dann integriert. Wir haben dazu [mm] \integral [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \integral [/mm] f^+ [mm] d\mu [/mm] - [mm] \integral f^{-} d\mu; f^{+} [/mm] = max(0,f), [mm] f^{-} [/mm] = [mm] (-f)^{+}; \integral f^{+} d\mu [/mm] = [mm] sup{\integral t d \mu: 0 \leq t \leq f, t Treppenfunktion}; \integral [/mm] t [mm] d\mu [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^k x_i \mu(t=x_i). [/mm] Ich würd wirklich mal gerne wissen, wie das konkret geht, weil man das ja oft braucht.)
Hier brauchen wir aber wsl. (Formel aus Internet) [mm]E(X) = \integral_{-\infty}^{\infty} X f(X) d(X) [/mm] (und dann in der Formel X durch unsere Y ersetzen)
>
> > > 4.) Was ist demzufolge [mm]E[Y_i][/mm]?
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Di 01.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Tipsi,
> > > > 3.) Erfüllen diese die Voraussetzungen aus 1.) ?
> > > unabhängig sind sie.
> >
> > Warum?
> Ich würde sagen, ich muss zeigen, dass [mm]P(Y_j/Y_k)[/mm] =
> [mm]P(Y_j)*P(Y_k).[/mm]
Schreibweisen wie [mm] $P(Y_j)$ [/mm] sind absolut sinnlos. Es gibt $P(A)$ für Ereignisse $A$, aber nicht $P(X)$ für Zufallsgrößen $X$. Du verwechselst offenbar stochastische Unabhängigkeit einer Familie von Zufallsgrößen mit der stochastischen Unabhängigkeit einer Familie von Ereignissen. Außerdem tust du so, als ob paarweise stochastische Unabhängigkeit schon Unabhängigkeit impliziere, was falsch ist.
Du solltest dringend die Definitionen von stochastischer Unabhängigkeit von Familien von Ereignissen sowie von Familien von Zufallsgrößen studieren.
In diesem Beispiel geht es darum, die stochastische Unabhängigkeit der Familie [mm] $(Y_i)_{i\in\IN}$ [/mm] auf die stochastische Unabhängigkeit der Familie [mm] $(X_i)_{i\in\IN}$ [/mm] zurückzuführen. Das geht mit der Definition der stochastischen Unabhängigkeit einer Familie von Zufallsgrößen oder mit der Anwendung einer vielleicht aus der Vorlesung bekannten Tatsache.
> So wie ich dein Schreiben vorhing verstanden habe, können
> die Zufallsvariablen keine Werte zwischen 0 und 1 annehmen,
> sondern nur 0 und 1
Das ist Quatsch.
> und demnach haben wir P=0,5 oder?
Was meinst du mit $P$? Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen, die nur die Werte 0 und 1 annimmt, muss jedenfalls nicht 0,5 sein.
> > > Der zweite Punkt ist vermutlich auch erfüllt,
Wegen
$ [mm] \summe_{i=1}^\infty \bruch{\text{Var}(Y_i)}{n^2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^\infty \bruch{c}{n^2} [/mm] = [mm] c\summe_{i=1}^\infty \bruch{1}{n^2} [/mm] $
und der Konvergenz der Reihe [mm] $\summe_{i=1}^\infty\bruch1{n^2}$ [/mm] gilt tatsächlich
$ [mm] \summe_{i=1}^\infty \bruch{\text{Var}(Y_i)}{n^2} [/mm] = [mm] c\summe_{i=1}^\infty \bruch{1}{n^2} <\infty$.
[/mm]
> > Dann: Wie bestimmt du [mm]E[Y_i] = E[\ln(X_i)][/mm]?
> > Wie
> bestimmt
> > man denn allgemein für eine meßbare Funktion f den Wert
> > von [mm]E\left[f(X)\right][/mm], wenn man die Dichte von X kennt?
>
> Also, alles was wir dazu in den Unterlagen haben, ist
> [mm]E(X)=\integral X dP[/mm]. (Und wie gesagt ist mir bei sowas
> nicht klar, wie man das mit dem P dann integriert. Wir
> haben dazu [mm]\integral[/mm] f [mm]d\mu[/mm] = [mm]\integral[/mm] f^+ [mm]d\mu[/mm] -
> [mm]\integral f^{-} d\mu; f^{+}[/mm] = max(0,f), [mm]f^{-}[/mm] = [mm](-f)^{+}; \integral f^{+} d\mu[/mm]
> = [mm]sup{\integral t d \mu: 0 \leq t \leq f, t Treppenfunktion}; \integral[/mm]
> t [mm]d\mu[/mm] := [mm]\sum_{i=1}^k x_i \mu(t=x_i).[/mm] Ich würd wirklich
> mal gerne wissen, wie das konkret geht, weil man das ja oft
> braucht.)
Zwei Zusammenhänge benötigst du:
1. Transformationsformel: Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ [/mm] ein Maßraum und [mm] $(\Omega',\mathcal{A}')$ [/mm] ein weiterer messbarer Raum. Seien [mm] $h\colon\Omega\to\Omega'$ [/mm] und [mm] $f\colon\Omega'\to\IR$ [/mm] messbar. Sei [mm] $\mu^h$ [/mm] das Bildmaß von [mm] $\mu$ [/mm] unter $h$. Dann ist [mm] $f\circ [/mm] h$ [mm] $\mu$-integrierbar [/mm] genau dann wenn $f$ [mm] $\mu^h$-integrierbar [/mm] ist und in diesem Falle gilt
[mm] $\integral f\circ h\; d\mu=\integral f\; d\mu^h$.
[/mm]
Also gilt im Falle der Existenz von $EX$ für eine Zufallsvariable [mm] $X\colon\Omega\to\IR$ [/mm] stets
[mm] $EX=\integral X\;dP=\integral id_\IR\circ X\; dP=\integral id_\IR \;dP^X=\integral x\; P^X(dx)$.
[/mm]
2. Integration bezüglich eines Maßes mit Dichte: Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ [/mm] ein Maßraum und [mm] $\nu$ [/mm] ein weiteres Maß auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$, [/mm] das eine [mm] $\mu$-Dichte [/mm] $g$ besitze. Sei [mm] $i\colon\Omega\to\IR$ [/mm] messbar. Dann ist $i$ [mm] $\nu$-integrierbar [/mm] genau dann, wenn $i*g$ [mm] $\mu$-integrierbar [/mm] ist und in diesem Fall gilt
[mm] $\integral i\; d\nu=\integral i*g\; d\mu$.
[/mm]
Also gilt für eine integrierbare Zufallsgröße $X$ mit Dichte $g$ bezüglich des Lebesgue-Maßes [mm] $\lambda$ [/mm] stets
(*) [mm] $EX=\integral id_\IR\;dP^X=\integral id_\IR*g\;d\lambda=\integral x*g(x)\;\lambda(dx)$.
[/mm]
> Hier brauchen wir aber wsl. (Formel aus Internet) [mm]E(X) = \integral_{-\infty}^{\infty} X f(X) d(X)[/mm]
Da stehen aber rechts vom Gleichheitszeichen nur kleine $x$, kein großes $X$. $x$ ist die Integrationsvariable, nicht die Zufallsgröße $X$. Riesenunterschied!
$f$ in der Formel aus dem Internet bezeichnet eine Lebesgue-Dichte von $X$. Das hat nichts mit dem $f$ von $E[f(X)]$ zu tun.
Die Formel aus dem Internet entspricht der Formel (*).
Sei nun $X$ eine Zufallsgröße mit Lebesgue-Dichte $g$ und [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] eine messbare Abbildung. Dann gilt im Falle der Integrierbarkeit von [mm] $f(X)=f\circ [/mm] X$ gemäß 1. und 2.:
[mm] $E[f(X)]=\integral f(X)\; dP=\integral f\circ X\;dP=\integral f\; dP^X=\integral f*g\; d\lambda=\integral f(x)*g(x)\;\lambda(dx)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 01.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Macht es denn nichts,
> dass lg(0) nicht definiert ist?
Um formal ganz sauber zu arbeiten, könnte man Folgendes tun:
Wir definieren
[mm] $\widetilde\ln\colon\IR\to\IR,\quad \widetilde{\ln}(x)=\begin{cases} \ln(x), & \mbox{für } x>0\\ 0, & \mbox{für } x\le0 \end{cases}$.
[/mm]
Dann arbeiten wir mit [mm] $Y_i:=\widetilde{\ln}(X_i)$ [/mm] für alle [mm] $i\in\IN$ [/mm] anstelle von [mm] $Y_i:=\ln(X_i)$.
[/mm]
Da [mm] $\widetilde{\ln}$ [/mm] messbar ist (das beweise ich jetzt nicht), sind dann die [mm] $Y_i$ [/mm] wieder Zufallsgrößen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Di 01.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, tobit09!
Danke für die ausführliche Beschreibung der Integrale, das ist mir jetzt schon um einiges klarer. Was deine Vermutung betrifft, dass ich Ereignisse und Zufallsvariablen verwechselt/vermischt habe, so hast du auch damit Recht gehabt.
> > Macht es denn nichts,
> > dass lg(0) nicht definiert ist?
> Um formal ganz sauber zu arbeiten, könnte man Folgendes
> tun:
>
> Wir definieren
>
> [mm]\widetilde\ln\colon\IR\to\IR,\quad \widetilde{\ln}(x)=\begin{cases} \ln(x), & \mbox{für } x>0\\ 0, & \mbox{für } x\le0 \end{cases}[/mm].
>
> Dann arbeiten wir mit [mm]Y_i:=\widetilde{\ln}(X_i)[/mm] für alle
> [mm]i\in\IN[/mm] anstelle von [mm]Y_i:=\ln(X_i)[/mm].
>
> Da [mm]\widetilde{\ln}[/mm] messbar ist (das beweise ich jetzt
> nicht), sind dann die [mm]Y_i[/mm] wieder Zufallsgrößen.
Okay, danke, dass die Funktion messbar ist, erkennt man eh schon schnell an der Definition für messbare Funktionen.
Ich fasse jetzt nochmal zusammen, was bis jetzt zur Lösung des Bsps gehört:
Wir berechnen, gegen welchen Wert [mm](\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}[/mm] konvergiert.
-> Damit wir eine Summe haben, wenden wir den ln an:
[mm]ln((\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n ln(X_i)[/mm]
-> Wir wollen das starke Gesetz der großen Zahlen anwenden (was setze ich denn da in der Formel für [mm] X_i [/mm] in [mm] Y_i [/mm] = [mm] ln(X_i) [/mm] dann ein?). Dafür müssen folgende beiden Bedingungen erfüllt sein:
1.) es muss [mm]\sum_{n\in N}\frac{V(Y_n)}{n^2} < \infty [/mm]
2.) die [mm] Y_n [/mm] müssen unabhängig sein
-> 1.) ist erfüllt, da [mm]\sum_{n\in N}\frac{V(Y_n)}{n^2} = \sum_{i=1}^\infty \frac{c}{n^2} = c \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2} < \infty [/mm]
-> damit 2.) erfüllt ist, muss (lt. meinen Unterlagen) eine folgender drei Bedingungen erfüllt sein:
1.: [mm] P((X_{i_1}, [/mm] ..., [mm] X_{i_m})\in \prod_{j=1}^m B_j) [/mm] = [mm] \prod_{j=1}^m P(X_{i_j} \in B_j) [/mm] für alle [mm] B_j \in \cmath{B} (\cmath{B} [/mm] bezeichnet das System der Baire-Funktionen und [mm] (\Omega, \sigma, [/mm] P) ist Wahrscheinlichkeitsraum
2.: [mm] P((X_{i_1}, [/mm] ..., [mm] X_{i_m})\in \prod_{j=1}^m (a_j,b_j]) [/mm] = [mm] \prod_{j=1}^m P(X_{i_j} \in (a_j,b_j]) [/mm] für alle [mm] a_j \leq b_j
[/mm]
3.: [mm] P(X_{i_1} \leq a_1, [/mm] ..., [mm] X_{i_m} \leq a_m) [/mm] = [mm] \prod_{j=1}^m P(X_{i_j} \leq a_j) [/mm] für alle [mm] a_j \in \cmath{R} [/mm]
Wie zeige ich nun, dass eine der Bedingungen und somit die Unabhängigkeit erfüllt ist und wie mache ich dann weiter?
LG
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Hiho,
> Wie zeige ich nun, dass eine der Bedingungen und somit die Unabhängigkeit erfüllt ist und wie mache ich dann weiter?
du schießt mit Kanonen auf Spatzen.
Warum etwas kompliziert zeigen, wenn es für das meiste schöne Sätze gibt.
Und Tobi sagte ja bereits, dass du die bekannte Unabhängigkeit der [mm] X_i [/mm] nutzen sollst.
Die [mm] X_i [/mm] sind alle nach Voraussetzung unabhängig und identisch verteilt. Was weißt du dann für meßbare Funktionen f über die Zufallsvariablen [mm] $f(X_i)$?
[/mm]
Weiter geht es dann mit der Berechnung von [mm] $E[\ln(X_i)]$, [/mm] du weißt ja schließlich, dass
[mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n \ln(X_i) \to E\left[\ln(X_i)\right] [/mm]
und willst berechnen, wogegen das genau konvergiert.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mi 02.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, Gonozal_IX,
>
> Die [mm]X_i[/mm] sind alle nach Voraussetzung unabhängig und
> identisch verteilt. Was weißt du dann für meßbare
> Funktionen f über die Zufallsvariablen [mm]f(X_i)[/mm]?
Ich habe keinen entsprechenden Satz gefunden, aber wsl. sind die [mm] f(X_i) [/mm] dann auch unabhängig. (Für die Anwendung des starken Gesetzes der großen Zahlen zwar unwichtig, aber sind sie auch identisch verteilt? Wenn ich nämlich habe, [mm] f(X_i) [/mm] = 5 für alle [mm] (X_i)[/mm] [mm] \in [/mm] [mm] \sigma_1, [/mm] dann würde das doch nicht zutreffen?)
>
> Weiter geht es dann mit der Berechnung von [mm]E[\ln(X_i)][/mm], du
> weißt ja schließlich, dass
>
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n \ln(X_i) \to E\left[\ln(X_i)\right][/mm]
>
> und willst berechnen, wogegen das genau konvergiert.
Ja, aber wie soll ich das Berechnen, wenn ich nicht weiß, was ich für [mm] X_i [/mm] einsetzen kann?
>
> Gruß,
> Tipsi.
>
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Hiho,
> Ich habe keinen entsprechenden Satz gefunden, aber wsl.
> sind die [mm]f(X_i)[/mm] dann auch unabhängig. (Für die Anwendung
> des starken Gesetzes der großen Zahlen zwar unwichtig,
> aber sind sie auch identisch verteilt? Wenn ich nämlich
> habe, [mm]f(X_i)[/mm] = 5 für alle [mm](X_i)[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]\sigma_1,[/mm] dann würde das doch nicht zutreffen?)
Da hast du nicht zu Ende gedacht.
Wenn [mm] $Y_i [/mm] = [mm] f(X_i) [/mm] = 5$, dann sind doch alle [mm] Y_i [/mm] konstant 5 und damit sind insbesondere alle [mm] Y_i [/mm] identisch verteilt (aber natürlich nicht gleichverteilt!).
Du solltest dir mal klar machen, dass es einen Unterschied gibt zwischen "gleich verteilt" und "gleichverteilt". Welchen?
> Ja, aber wie soll ich das Berechnen, wenn ich nicht weiß,
> was ich für [mm]X_i[/mm] einsetzen kann?
Du weißt doch genug über die [mm] X_i, [/mm] nämlich wie sie verteilt sind. Wie sind die [mm] X_i [/mm] denn verteilt? D.h. wie sieht die Dichtefunktion der [mm] X_i [/mm] aus?
Wie berechnet sich dann also [mm] $E[f(X_i)]$ [/mm] ? Das hast du hier schon einmal beantwortet.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Do 03.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
>Hallo,
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> > Ich habe keinen entsprechenden Satz gefunden, aber wsl.
> > sind die [mm]f(X_i)[/mm] dann auch unabhängig. (Für die Anwendung
> > des starken Gesetzes der großen Zahlen zwar unwichtig,
> > aber sind sie auch identisch verteilt? Wenn ich nämlich
> > habe, [mm]f(X_i)[/mm] = 5 für alle [mm](X_i)[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]\sigma_1,[/mm] dann würde
> das doch nicht zutreffen?)
>
> Da hast du nicht zu Ende gedacht.
> Wenn [mm]Y_i = f(X_i) = 5[/mm], dann sind doch alle [mm]Y_i[/mm] konstant 5
> und damit sind insbesondere alle [mm]Y_i[/mm] identisch verteilt
> (aber natürlich nicht gleichverteilt!).
>
> Du solltest dir mal klar machen, dass es einen Unterschied
> gibt zwischen "gleich verteilt" und "gleichverteilt".
> Welchen?
Du hast Recht.
gleich verteilt (= identisch verteilt): die Verteilungen der Zufallsvariablen sind gleich
gleichverteilt: die Zufallsvariable nimmt jeden ihrer Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit an
>
>
> > Ja, aber wie soll ich das Berechnen, wenn ich nicht weiß,
> > was ich für [mm]X_i[/mm] einsetzen kann?
>
> Du weißt doch genug über die [mm]X_i,[/mm] nämlich wie sie
> verteilt sind. Wie sind die [mm]X_i[/mm] denn verteilt? D.h. wie
> sieht die Dichtefunktion der [mm]X_i[/mm] aus?
für die Dichtefunktion f der Gleichverteilung auf [a,b], [mm] a\leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] b gilt: f(x) = [mm]\frac{1}{b-a}[/mm], sonst f(x) = 0.
> Wie berechnet sich dann also [mm]E[f(X_i)][/mm] ? Das hast du hier
> schon einmal beantwortet.
[mm]E[f(X)]=\integral f(X)\; dP=\integral f\circ X\;dP=\integral f\; dP^X=\integral f\cdot{}g\; d\lambda=\integral f(x)\cdot{}g(x)\;\lambda(dx) [/mm] (Meinst du das?)
Und wie setze ich in sowas ein?
f(x) = ln(x), [mm] g(x)=\frac{1}{b-a}, \lambda [/mm] = b-a ?
--> [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] ln(x) * [mm] \frac{1}{b-a} [/mm] * (b - a)dx ?
LG.
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Hallo,
> > > Ich habe keinen entsprechenden Satz gefunden, aber wsl.
> > > sind die [mm]f(X_i)[/mm] dann auch unabhängig. (Für die Anwendung
> > > des starken Gesetzes der großen Zahlen zwar unwichtig,
> > > aber sind sie auch identisch verteilt? Wenn ich nämlich
> > > habe, [mm]f(X_i)[/mm] = 5 für alle [mm](X_i)[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]\sigma_1,[/mm] dann würde
> > das doch nicht zutreffen?)
> >
> > Da hast du nicht zu Ende gedacht.
> > Wenn [mm]Y_i = f(X_i) = 5[/mm], dann sind doch alle [mm]Y_i[/mm] konstant
> 5
> > und damit sind insbesondere alle [mm]Y_i[/mm] identisch verteilt
> > (aber natürlich nicht gleichverteilt!).
> >
> > Du solltest dir mal klar machen, dass es einen Unterschied
> > gibt zwischen "gleich verteilt" und "gleichverteilt".
> > Welchen?
> Du hast Recht.
> gleich verteilt (= identisch verteilt): die Verteilungen
> der Zufallsvariablen sind gleich
> gleichverteilt: die Zufallsvariable nimmt jeden ihrer
> Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit an
OK
> > > Ja, aber wie soll ich das Berechnen, wenn ich nicht weiß,
> > > was ich für [mm]X_i[/mm] einsetzen kann?
> >
> > Du weißt doch genug über die [mm]X_i,[/mm] nämlich wie sie
> > verteilt sind. Wie sind die [mm]X_i[/mm] denn verteilt? D.h. wie
> > sieht die Dichtefunktion der [mm]X_i[/mm] aus?
>
> für die Dichtefunktion f der Gleichverteilung auf [a,b],
> [mm]a\leq[/mm] x [mm]\leq[/mm] b gilt: f(x) = [mm]\frac{1}{b-a}[/mm], sonst f(x) = 0.
Richtig, aber du weißt es noch genauer: Laut Aufgabenstellung sind die [mm] X_i [/mm] auf [0,1] gleichverteilt. Also b = 1, a = 0.
> > Wie berechnet sich dann also [mm]E[f(X_i)][/mm] ? Das hast du hier
> > schon einmal beantwortet.
>
> [mm]E[f(X)]=\integral f(X)\; dP=\integral f\circ X\;dP=\integral f\; dP^X =\integral f\cdot{}g\; d\lambda=\integral f(x)\cdot{}g(x)\;\lambda(dx)[/mm]
> (Meinst du das?)
Das ist richtig, wenn g die Dichte von [mm] $P^{X}$ [/mm] bzgl. des Lebesguemaßes [mm] $\lambda$ [/mm] bezeichnet.
> Und wie setze ich in sowas ein?
> f(x) = ln(x), [mm]g(x)=\frac{1}{b-a}, \lambda[/mm] = b-a ?
> --> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}[/mm] ln(x) * [mm]\frac{1}{b-a}[/mm] *
> (b - a)dx ?
Du hast das falsche $g$ genommen. Es hätte $g(x) = [mm] 1_{[0,1]}(x)$ [/mm] sein müssen (Dichte der auf [0,1] gleichverteilten ZV).
Außerdem ist [mm] $\lambda$ [/mm] bereits das Lebesgue-Maß, also $d [mm] \lambda [/mm] = d x$.
Damit wird das Integral zu
[mm] $E[\ln(X_1)] [/mm] = [mm] \int_{0}^{1}\ln(x) [/mm] dx$.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 05.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, Steppenhahn,
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> > > > Ich habe keinen entsprechenden Satz gefunden, aber wsl.
> > > > sind die [mm]f(X_i)[/mm] dann auch unabhängig. (Für die Anwendung
> > > > des starken Gesetzes der großen Zahlen zwar unwichtig,
> > > > aber sind sie auch identisch verteilt? Wenn ich nämlich
> > > > habe, [mm]f(X_i)[/mm] = 5 für alle [mm](X_i)[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]\sigma_1,[/mm] dann würde
> > > das doch nicht zutreffen?)
> > >
> > > Da hast du nicht zu Ende gedacht.
> > > Wenn [mm]Y_i = f(X_i) = 5[/mm], dann sind doch alle [mm]Y_i[/mm]
> konstant
> > 5
> > > und damit sind insbesondere alle [mm]Y_i[/mm] identisch verteilt
> > > (aber natürlich nicht gleichverteilt!).
> > >
> > > Du solltest dir mal klar machen, dass es einen Unterschied
> > > gibt zwischen "gleich verteilt" und "gleichverteilt".
> > > Welchen?
> > Du hast Recht.
> > gleich verteilt (= identisch verteilt): die Verteilungen
> > der Zufallsvariablen sind gleich
> > gleichverteilt: die Zufallsvariable nimmt jeden ihrer
> > Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit an
>
>
> OK
>
>
> > > > Ja, aber wie soll ich das Berechnen, wenn ich nicht weiß,
> > > > was ich für [mm]X_i[/mm] einsetzen kann?
> > >
> > > Du weißt doch genug über die [mm]X_i,[/mm] nämlich wie sie
> > > verteilt sind. Wie sind die [mm]X_i[/mm] denn verteilt? D.h. wie
> > > sieht die Dichtefunktion der [mm]X_i[/mm] aus?
> >
> > für die Dichtefunktion f der Gleichverteilung auf [a,b],
> > [mm]a\leq[/mm] x [mm]\leq[/mm] b gilt: f(x) = [mm]\frac{1}{b-a}[/mm], sonst f(x) = 0.
>
> Richtig, aber du weißt es noch genauer: Laut
> Aufgabenstellung sind die [mm]X_i[/mm] auf [0,1] gleichverteilt.
> Also b = 1, a = 0.
>
>
> > > Wie berechnet sich dann also [mm]E[f(X_i)][/mm] ? Das hast du hier
> > > schon einmal beantwortet.
> >
> > [mm]E[f(X)]=\integral f(X)\; dP=\integral f\circ X\;dP=\integral f\; dP^X =\integral f\cdot{}g\; d\lambda=\integral f(x)\cdot{}g(x)\;\lambda(dx)[/mm]
> > (Meinst du das?)
>
>
> Das ist richtig, wenn g die Dichte von [mm]P^{X}[/mm] bzgl. des
> Lebesguemaßes [mm]\lambda[/mm] bezeichnet.
Und das ist bei uns nicht der Fall?
>
> > Und wie setze ich in sowas ein?
> > f(x) = ln(x), [mm]g(x)=\frac{1}{b-a}, \lambda[/mm] = b-a ?
> > --> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}[/mm] ln(x) * [mm]\frac{1}{b-a}[/mm]
> *
> > (b - a)dx ?
>
> Du hast das falsche [mm]g[/mm] genommen. Es hätte [mm]g(x) = 1_{[0,1]}(x)[/mm]
> sein müssen (Dichte der auf [0,1] gleichverteilten ZV).
Und wo fließt dann das [mm] \frac{1}{1-0} [/mm] ein?
>
> Außerdem ist [mm]\lambda[/mm] bereits das Lebesgue-Maß, also [mm]d \lambda = d x[/mm].
>
> Damit wird das Integral zu
>
> [mm]E[\ln(X_1)] = \int_{0}^{1}\ln(x) dx[/mm].
>
Ist das dann: 1*ln(1)-1-0*ln(0)+0 = -1?
Aber das kann doch unmöglich der Erwartungswert sein?
>
LG
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Hallo,
> > > > Wie berechnet sich dann also [mm]E[f(X_i)][/mm] ? Das hast du hier
> > > > schon einmal beantwortet.
> > >
> > > [mm]E[f(X)]=\integral f(X)\; dP=\integral f\circ X\;dP=\integral f\; dP^X =\integral f\cdot{}g\; d\lambda=\integral f(x)\cdot{}g(x)\;\lambda(dx)[/mm]
> > > (Meinst du das?)
> >
> >
> > Das ist richtig, wenn g die Dichte von [mm]P^{X}[/mm] bzgl. des
> > Lebesguemaßes [mm]\lambda[/mm] bezeichnet.
> Und das ist bei uns nicht der Fall?
Doch, es ist alles richtig. Ich wollte es nur klarstellen (weil du g nicht bezeichnet hast).
> > > Und wie setze ich in sowas ein?
> > > f(x) = ln(x), [mm]g(x)=\frac{1}{b-a}, \lambda[/mm] = b-a ?
> > > --> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}[/mm] ln(x) *
> [mm]\frac{1}{b-a}[/mm]
> > *
> > > (b - a)dx ?
> > Du hast das falsche [mm]g[/mm] genommen. Es hätte [mm]g(x) = 1_{[0,1]}(x)[/mm]
> > sein müssen (Dichte der auf [0,1] gleichverteilten ZV).
> Und wo fließt dann das [mm]\frac{1}{1-0}[/mm] ein?
Ich hätte auch schreiben können: $g(x) = [mm] \frac{1}{1-0}*1_{[0,1]}(x)$. [/mm] Dieser Faktor steht also auch in der Dichte, aber er ist ja 1 !
Bei dir war nicht zu sehen, was du mit b und a meinst.
> > Außerdem ist [mm]\lambda[/mm] bereits das Lebesgue-Maß, also [mm]d \lambda = d x[/mm].
>
> >
> > Damit wird das Integral zu
> >
> > [mm]E[\ln(X_1)] = \int_{0}^{1}\ln(x) dx[/mm].
> >
> Ist das dann: 1*ln(1)-1-0*ln(0)+0 = -1?
> Aber das kann doch unmöglich der Erwartungswert sein?
Doch, das ist richtig. Wieso sollte das nicht gehen?
Der Logarithmus ist im Bereich von 0 bis 1 stets negativ. Also kann doch eine Zufallsvariable [mm] $\ln(X)$ [/mm] mit $X [mm] \sim [/mm] U[0,1]$ (Gleichverteilung auf [0,1]) auch einen negativen Erwartungswert haben.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 05.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, danke für deine Antwort.
>
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> > > > > Wie berechnet sich dann also [mm]E[f(X_i)][/mm] ? Das hast du hier
> > > > > schon einmal beantwortet.
> > > >
> > > > [mm]E[f(X)]=\integral f(X)\; dP=\integral f\circ X\;dP=\integral f\; dP^X =\integral f\cdot{}g\; d\lambda=\integral f(x)\cdot{}g(x)\;\lambda(dx)[/mm]
> > > > (Meinst du das?)
> > >
> > >
> > > Das ist richtig, wenn g die Dichte von [mm]P^{X}[/mm] bzgl. des
> > > Lebesguemaßes [mm]\lambda[/mm] bezeichnet.
>
> > Und das ist bei uns nicht der Fall?
>
>
> Doch, es ist alles richtig. Ich wollte es nur klarstellen
> (weil du g nicht bezeichnet hast).
>
>
> > > > Und wie setze ich in sowas ein?
> > > > f(x) = ln(x), [mm]g(x)=\frac{1}{b-a}, \lambda[/mm] = b-a
> ?
> > > > --> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}[/mm] ln(x) *
> > [mm]\frac{1}{b-a}[/mm]
> > > *
> > > > (b - a)dx ?
>
> > > Du hast das falsche [mm]g[/mm] genommen. Es hätte [mm]g(x) = 1_{[0,1]}(x)[/mm]
> > > sein müssen (Dichte der auf [0,1] gleichverteilten ZV).
> > Und wo fließt dann das [mm]\frac{1}{1-0}[/mm] ein?
>
>
> Ich hätte auch schreiben können: [mm]g(x) = \frac{1}{1-0}*1_{[0,1]}(x)[/mm].
> Dieser Faktor steht also auch in der Dichte, aber er ist ja
> 1 !
>
> Bei dir war nicht zu sehen, was du mit b und a meinst.
>
>
>
> > > Außerdem ist [mm]\lambda[/mm] bereits das Lebesgue-Maß, also [mm]d \lambda = d x[/mm].
>
> >
> > >
> > > Damit wird das Integral zu
> > >
> > > [mm]E[\ln(X_1)] = \int_{0}^{1}\ln(x) dx[/mm].
> > >
> > Ist das dann: 1*ln(1)-1-0*ln(0)+0 = -1?
> > Aber das kann doch unmöglich der Erwartungswert sein?
>
>
> Doch, das ist richtig. Wieso sollte das nicht gehen?
>
> Der Logarithmus ist im Bereich von 0 bis 1 stets negativ.
> Also kann doch eine Zufallsvariable [mm]\ln(X)[/mm] mit [mm]X \sim U[0,1][/mm]
> (Gleichverteilung auf [0,1]) auch einen negativen
> Erwartungswert haben.
Ja, stimmt, ich hab übersehen, dass das noch der Erwartungswert von ln(X) ist. Um den von X zu erhalten, muss ich den jetzt noch umkehren oder?, also [mm] e^{-1} [/mm] ist dann E(X)?
>
Liebe Grüße
Tipsi
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Hallo,
> > > > Damit wird das Integral zu
> > > >
> > > > [mm]E[\ln(X_1)] = \int_{0}^{1}\ln(x) dx[/mm].
> > > >
> > > Ist das dann: 1*ln(1)-1-0*ln(0)+0 = -1?
> > > Aber das kann doch unmöglich der Erwartungswert
> sein?
> >
> >
> > Doch, das ist richtig. Wieso sollte das nicht gehen?
> > Der Logarithmus ist im Bereich von 0 bis 1 stets negativ.
> > Also kann doch eine Zufallsvariable [mm]\ln(X)[/mm] mit [mm]X \sim U[0,1][/mm]
> > (Gleichverteilung auf [0,1]) auch einen negativen
> > Erwartungswert haben.
> Ja, stimmt, ich hab übersehen, dass das noch der
> Erwartungswert von ln(X) ist. Um den von X zu erhalten,
> muss ich den jetzt noch umkehren oder?, also [mm]e^{-1}[/mm] ist
> dann E(X)?
Nein, das ist falsch. Im Allgemeinen gilt doch $E(g(X)) [mm] \not= [/mm] g(E(X))$.
Wir wissen jetzt:
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln(X_i) \to E[\ln(X_1)] [/mm] = -1$.
Damit ist (und das meinst du wahrscheinlich):
[mm] $\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\right)^{1/n} [/mm] = [mm] \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln(X_i)\right) \to e^{-1}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 So 06.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, danke, das Beispiel ist mir jetzt klar. (:
Ich hätte aber noch eine allgemeine Frage, nämlich zu folgender Umformung, die bei der Berechnung von E[f(X)] in der Formel vorkommt.
E[f(X)] = [mm] \integral [/mm] f(X)dP = [mm] \integral [/mm] f [mm] \circ [/mm] X dP = [mm] \integral [/mm] f [mm] dP_x [/mm] = [mm] \integral [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g [mm] d\lambda [/mm] = [mm] \integral f(x)\cdotg(x)\lambda(d_x)
[/mm]
Die ersten drei Gleichheitszeichen sind mir klar, aber bei den anderen beiden blicke ich trotz aller Definitionen und der Transformationsformel noch nicht ganz durch, wie [mm] dP_x, g\cdot d\lambda [/mm] und [mm] g\cdot\lambda(dx) [/mm] zusammenhängen. Könnte mir das bitte noch jemand erläutern?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:10 So 06.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> E[f(X)] = [mm]\integral[/mm] f(X)dP = [mm]\integral[/mm] f [mm]\circ[/mm] X dP =
> [mm]\integral[/mm] f [mm]dP_x[/mm] = [mm]\integral[/mm] f [mm]\cdot[/mm] g [mm]d\lambda[/mm] = [mm]\integral f(x)\cdot g(x)\lambda(d_x)[/mm]
Es muss [mm] $P_X$ [/mm] statt [mm] $P_x$ [/mm] heißen. (Beachte, dass $x$ und $X$ sehr unterschiedliche Bedeutungen haben! $X$ ist eine Zufallsgröße (also eine spezielle Abbildung), während $x$ eine "Integrationsvariable" bezeichnet.)
> Die ersten drei Gleichheitszeichen sind mir klar, aber bei
> den anderen beiden blicke ich trotz aller Definitionen und
> der Transformationsformel noch nicht ganz durch, wie [mm]dP_x, g\cdot d\lambda[/mm]
> und [mm]g\cdot\lambda(dx)[/mm] zusammenhängen. Könnte mir das
> bitte noch jemand erläutern?
Die Gleichheit
[mm]\integral[/mm] f [mm]dP_X[/mm] = [mm]\integral[/mm] f [mm]\cdot[/mm] g [mm]d\lambda[/mm]
ist eine Anwendung von "2. Integration bezüglich eines Maßes mit Dichte" aus dieser Antwort (klick).
Bei
[mm]\integral[/mm] f [mm]\cdot[/mm] g [mm]d\lambda[/mm] = [mm]\integral f(x)\cdot g(x)\lambda(d_x)[/mm]
handelt es sich nur um zwei verschiedene Schreibweisen des gleichen Integrals:
Sei [mm] $\mu$ [/mm] irgendein Maß und $f$ irgendeine [mm] $\mu$-integrierbare [/mm] Funktion. Dann definiert man
[mm] $\integral f(x)\;\mu(dx):=\integral f\; d\mu$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:32 So 06.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
> Hallo,
>
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>
> > > > Ich habe keinen entsprechenden Satz gefunden, aber wsl.
> > > > sind die [mm]f(X_i)[/mm] dann auch unabhängig. (Für die Anwendung
> > > > des starken Gesetzes der großen Zahlen zwar unwichtig,
> > > > aber sind sie auch identisch verteilt? Wenn ich nämlich
> > > > habe, [mm]f(X_i)[/mm] = 5 für alle [mm](X_i)[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]\sigma_1,[/mm] dann würde
> > > das doch nicht zutreffen?)
> > >
> > > Da hast du nicht zu Ende gedacht.
> > > Wenn [mm]Y_i = f(X_i) = 5[/mm], dann sind doch alle [mm]Y_i[/mm]
> konstant
> > 5
> > > und damit sind insbesondere alle [mm]Y_i[/mm] identisch verteilt
> > > (aber natürlich nicht gleichverteilt!).
> > >
> > > Du solltest dir mal klar machen, dass es einen Unterschied
> > > gibt zwischen "gleich verteilt" und "gleichverteilt".
> > > Welchen?
> > Du hast Recht.
> > gleich verteilt (= identisch verteilt): die Verteilungen
> > der Zufallsvariablen sind gleich
> > gleichverteilt: die Zufallsvariable nimmt jeden ihrer
> > Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit an
>
>
> OK
>
>
> > > > Ja, aber wie soll ich das Berechnen, wenn ich nicht weiß,
> > > > was ich für [mm]X_i[/mm] einsetzen kann?
> > >
> > > Du weißt doch genug über die [mm]X_i,[/mm] nämlich wie sie
> > > verteilt sind. Wie sind die [mm]X_i[/mm] denn verteilt? D.h. wie
> > > sieht die Dichtefunktion der [mm]X_i[/mm] aus?
> >
> > für die Dichtefunktion f der Gleichverteilung auf [a,b],
> > [mm]a\leq[/mm] x [mm]\leq[/mm] b gilt: f(x) = [mm]\frac{1}{b-a}[/mm], sonst f(x) = 0.
>
> Richtig, aber du weißt es noch genauer: Laut
> Aufgabenstellung sind die [mm]X_i[/mm] auf [0,1] gleichverteilt.
> Also b = 1, a = 0.
>
>
> > > Wie berechnet sich dann also [mm]E[f(X_i)][/mm] ? Das hast du hier
> > > schon einmal beantwortet.
> >
> > [mm]E[f(X)]=\integral f(X)\; dP=\integral f\circ X\;dP=\integral f\; dP^X =\integral f\cdot{}g\; d\lambda=\integral f(x)\cdot{}g(x)\;\lambda(dx)[/mm]
> > (Meinst du das?)
>
>
> Das ist richtig, wenn g die Dichte von [mm]P^{X}[/mm] bzgl. des
> Lebesguemaßes [mm]\lambda[/mm] bezeichnet.
>
> > Und wie setze ich in sowas ein?
> > f(x) = ln(x), [mm]g(x)=\frac{1}{b-a}, \lambda[/mm] = b-a ?
> > --> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}[/mm] ln(x) * [mm]\frac{1}{b-a}[/mm]
> *
> > (b - a)dx ?
>
> Du hast das falsche [mm]g[/mm] genommen. Es hätte [mm]g(x) = 1_{[0,1]}(x)[/mm]
> sein müssen (Dichte der auf [0,1] gleichverteilten ZV).
>
> Außerdem ist [mm]\lambda[/mm] bereits das Lebesgue-Maß, also [mm]d \lambda = d x[/mm].
Das verstehe ich nicht. g ist doch die Dichte von [mm] P^{x} [/mm] bzgl. des Lebesgue-Maßes [mm] \lambda. [/mm] Da könnte [mm] \lambda [/mm] doch eh nichts anderes sein?
Wie genau hängt dieses dx mit [mm] d\lambda [/mm] zusammen? (z.B., wenn [mm] \lambda [/mm] ein anderes Maß als das Lebesgue-Maß ist?)
>
> Damit wird das Integral zu
>
> [mm]E[\ln(X_1)] = \int_{0}^{1}\ln(x) dx[/mm].
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:51 So 06.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > f(x) = ln(x), [mm]g(x)=\frac{1}{b-a}, \lambda[/mm] = b-a ?
> > > --> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}[/mm] ln(x) *
> [mm]\frac{1}{b-a}[/mm]
> > *
> > > (b - a)dx ?
> >
> > Du hast das falsche [mm]g[/mm] genommen. Es hätte [mm]g(x) = 1_{[0,1]}(x)[/mm]
> > sein müssen (Dichte der auf [0,1] gleichverteilten ZV).
> >
> > Außerdem ist [mm]\lambda[/mm] bereits das Lebesgue-Maß, also [mm]d \lambda = d x[/mm].
>
> Das verstehe ich nicht. g ist doch die Dichte von [mm]P^{x}[/mm]
> bzgl. des Lebesgue-Maßes [mm]\lambda.[/mm] Da könnte [mm]\lambda[/mm] doch
> eh nichts anderes sein?
Du hattest [mm] $\lambda=b-a$ [/mm] geschrieben. Da [mm] $\lambda$ [/mm] das Lebesgue-Maß bezeichnet, ist [mm] $\lambda$ [/mm] sicherlich nicht die reelle Zahl $b-a$.
> Wie genau hängt dieses dx mit [mm]d\lambda[/mm] zusammen? (z.B.,
> wenn [mm]\lambda[/mm] ein anderes Maß als das Lebesgue-Maß ist?)
Für ein beliebiges Maß [mm] $\mu$ [/mm] gibt es keinen entsprechenden Zusammenhang.
Beachte, dass für beliebige [mm] $\mu$-integrierbare [/mm] Funktionen $f$
[mm] $\integral f\; d\mu$
[/mm]
und
[mm] $\integral f(x)\; \mu(dx)$
[/mm]
nur verschiedene Schreibweisen für das gleiche Integral sind.
Lediglich bezüglich das Lebesgue-Maßes [mm] $\lambda$ [/mm] stimmen Maßintegrale der Form
[mm] $\integral f\; d\lambda$
[/mm]
unter gewissen Bedingungen mit dem entsprechenden uneigentlichen Riemann-Integral
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty} f(x)\; [/mm] dx$
überein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 So 06.10.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo, tobit 09, danke für deine Antworten!
Danke auch nochmal an Gonozal_IX und Steppenhahn! (:
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