Konvergenz Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei die Folge [mm] a_{n(m)} [/mm] konvergent gegen a. Zeige: Die Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a! |
Also, ich muss zeigen, dass [mm] a_{n} [/mm] gegen a konvergiert.
Ich weiß bereits, dass [mm] a_{n(m)} [/mm] gegen a konvergiert.
Daraus kann ich schließen, dass alle Teilfolgen von [mm] a_{n(m)} [/mm] bereits gegen a konvergieren.
Aber wie komme ich jetzt von dieser Aussage zur ersten??
DANKE!
Die Ratlose...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Was genau ist bei dir $n(m)$?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Sa 17.05.2008 | | Autor: | ratlos1611 |
n(m) ist eine Teilfolge von n,
d.h. [mm] a_{n(m)} [/mm] ist eine konkrete Teilfolge [mm] a_n
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei die Folge [mm]a_{n(m)}[/mm] konvergent gegen a. Zeige: Die Folge
> [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a!
So wie du es schreibst haut es nicht hin, denn betrachte mal [mm] $a_n:=(-1)^n$. [/mm] Nur weil für $n(m):=2m$ die Folge [mm] $a_{n(m)}=a_{2m}=1$ [/mm] gegen 1 konvergiert, heißt das ja nicht das auch [mm] $a_n$ [/mm] konvergiert.
Du meinst sicher:
| Aufgabe | | Sei [mm] a_n [/mm] konvergent und die Folge [mm] a_{n(m)} [/mm] konvergent gegen a. Zeige: Die Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a! |
Dann kannst du nämlich das Cauchy-Kriterium anwenden, d.h. [mm] $|a_n-a_m|<\varepsilon$ [/mm] für [mm] $n,m>N(\varepsilon)$.[/mm]
|
|
|
| |
|
Ja, das mit der Aufgabenstellung ist wohl bei meiner Aufgabe falsch. Da es jedoch so sein muss, gehe ich davon aus, dass die Aufgabenstellung richtig ist.
Jedoch:
Das Cauchy-Kriterium bringt nicht viel, da eine Cauchy-Folge nicht automatisch konvergent ist. Es gilt nur die Umkehrung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ja, das mit der Aufgabenstellung ist wohl bei meiner
> Aufgabe falsch. Da es jedoch so sein muss, gehe ich davon
> aus, dass die Aufgabenstellung richtig ist.
Versteh den Satz nicht - welche Aufgabenstellung is jetzt richtig?
> Jedoch:
> Das Cauchy-Kriterium bringt nicht viel, da eine
> Cauchy-Folge nicht automatisch konvergent ist. Es gilt nur
> die Umkehrung.
1) Über was reden wir hier? Wenn du nichts anderes sagst geh ich davon aus wir befinden uns im [mm] $\IC^n$ [/mm] mit der Standart-Betragsnorm, und da gelten nunmal beide Richtungen.
2) Brauchst du für den Beweis auch nur die Umkehrung:
Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergent und mit der Teilfolge [mm] $(a_{n_k})\rightarrow [/mm] a$. Dann ist [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Cauchyfolge, d.h. zu [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein $N$ mit [mm] $|a_n-a_m|<\varepsilon/2$. [/mm] Da [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] gegen a konvergiert, gibt es außerdem ein [mm] $n_k>N$ [/mm] mit [mm] $|a_{n_k}-a|<\varepsilon/2$. [/mm] Dann ist für [mm]n>N[/mm] [mm] $|a_n-a|\le|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a|<\varepsilon$, [/mm] q.e.d.
|
|
|
| |
|
deine Aufgabenstellung ist richtig, sorry.
Zwischenzeitlich bin ich auf folgende Möglichkeit gestoßen, weiß aber nicht, ob sie richtig ist.
[mm] a_{n} [/mm] ist konvergent, d.h. es exisiert eine Teilfolge [mm] a_{n(m)} [/mm] = [mm] a_{n}, [/mm] die konvergent ist. Da [mm] a_{n(m)} [/mm] Grenzwert a hat, muss somit auch [mm] a_{n} [/mm] den Grenzwert a haben.
Kurz: ich nehme an, dass [mm] a_{n} [/mm] selber eine Teilfolge von [mm] a_{n} [/mm] ist.
Ist das möglich??
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]a_{n}[/mm] ist konvergent, d.h. es exisiert eine Teilfolge
> [mm]a_{n(m)}[/mm] = [mm]a_{n},[/mm] die konvergent ist. Da [mm]a_{n(m)}[/mm] Grenzwert
> a hat, muss somit auch [mm]a_{n}[/mm] den Grenzwert a haben.
> Kurz: ich nehme an, dass [mm]a_{n}[/mm] selber eine Teilfolge von
> [mm]a_{n}[/mm] ist.
In der Aufgabenstellung steht aber, dass [mm] $a_{n(m)}$ [/mm] irgend eine feste, beliebige Teilfolge von [mm] $a_n$ [/mm] ist. Du kannst nicht einfach annehmen, dass [mm] $a_{n(m)}=a_n$ [/mm] ist. Alles was du oben gezeigt hast ist: [mm] $a_n\text{ konvergiert gegen }a\Rightarrow a_n\text{ konvergiert gegen }a$ [/mm] :-]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Sa 17.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
steht irgendwo bei euch was das [mm] a_{n(m)} [/mm] bedeuten soll?
Hast du den genauen Wortlaut der Aufgabe gepostet?
in welcher Menge liegen die [mm] a_n?
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Das [mm] a_{n(m)} [/mm] steht für [mm] a_{n_{m}}, [/mm] also eine Teilfolge von [mm] a_{n}.
[/mm]
Wir befinden uns in einem metrischen, lokal kompakten und sperarblen Raum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 So 18.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denk ein Widerspruchsbeweis ist hier einfach: [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen g, eine Teilfolge konvergiert gegen [mm] a\ne [/mm] g d.h. es gibt ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit [mm] |g-a|>\varepsilon. [/mm]
Kommst du damit hin?
Gruss leduart
|
|
|
|
