Konvergenz Reihe mit Parameter < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für welche x konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{1+x^{k}}$ [/mm] |
Hallo!
Nachdem ich daran gescheitert bin, den Ausdruck in eine Potenzreihe umzuwandeln, habe ich das Quotientenkriterium angewendet und kam auf:
[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| [/mm] = 1 + [mm] \frac{x-1}{1+x^{k+1}}$.
[/mm]
Der Ausdruck muss ja nun echt kleiner 1 sein, d.h. es muss gelten:
[mm] $\frac{x-1}{1+x^{k+1}} [/mm] < 0$ (*).
Nun habe ich eine Fallunterscheidung gemacht:
$x [mm] \ge [/mm] 1$: Dann ist der Zähler des Bruches (*) größergleich 0 und auch der Nenner ist größer 0, also der gesamte Bruch größergleich 0 --> Für diese x konvergiert die Reihe nicht.
$0 [mm] \le [/mm] x < 1$: Dann ist der Zähler des Bruches (*) negativ, der Nenner aber positiv, also der gesamte Bruch negativ. --> Für diese x konvergiert die Reihe.
$-1 < x < 0$: Dann ist der Zähler des Bruches (*) negativ, und der Nenner weiterhin positiv, da [mm] $|x^{k+1}| [/mm] < 1$ für $-1 < x < 0$ und somit $1 + [mm] x^{k+1} [/mm] > 0$. --> Für diese x konvergiert die Reihe.
$x < -1$: Dann ist der Zähler des Bruches (*) negativ, aber der Nenner auch negativ, weil [mm] $|x^{k+1}| [/mm] > 1$ für $|x| > 1$ und somit für $k = 2n$, [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: $1 + [mm] x^{k+1}< [/mm] 0$. D.h. für unendlich viele k gilt dann die Bedingung des Quotientenkriteriums nicht. --> Für diese x konvergiert die Reihe nicht.
Also komme ich insgesamt zu: Die Reihe konvergiert für $-1 < x < 1$.
Stimmt das? Sind meine Begründungen "hieb- und stichfest"?
Danke für Eure Korrektur,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
