Konvergenz (Majorantenkrit.) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{3}+1} [/mm] |
Hallo.
Diese Aufgabe wurde mit dem Majorantenkriterium gelöst. Im Gegensatz zu anderen Aufgaben, wurde hier nur das Majorantenkriterium verwendet.
Ist es möglich, hier auch andere Kriterien anzuwenden?
Um ehrlich zu sein, hätte ich diese Aufgabe nicht ohne einen Blick in die Musterlösung lösen können, denn ich hätte niemals den richtigen Ansatz gefunden.
Gibt es vielleicht einen Trick, mit dessen Hilfe ich weiß, welches Kriterium bei einer unbekannten Aufgabe anzuwenden ist?
Vielen Dank.
Es ist für alle [mm] $k\in\IN [/mm] : [mm] k^{3}+1>k^{3} \Rightarrow \bruch{1}{k^{3}+1}<\bruch{1}{k^{3}} \Rightarrow \bruch{k}{k^{3}+1}<\bruch{k}{k^{3}}=\bruch{1}{k^{2}}$.
[/mm]
Nach Vorlesung ist aber die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}}$ [/mm] konvergent, also liefert das Majorantenkriterium:
[mm] $\forall k\in\IN [/mm] : [mm] \left| \bruch{k}{k^{3}+1} \right|\le\bruch{1}{k^{2}}$ [/mm] und [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}}$ [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{3}+1}$ [/mm] konvergiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Majoranten- und Minorantenkriterium sind Vergleichkriterien. Die Folge der Reihengleder in
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{3}+1} [/mm] $
ist die Folge [mm] (\bruch{k}{k^{3}+1}). [/mm]
Wie geht man nun vor ? Für große k verhält sich [mm] $k^3+1$ [/mm] in etwa wie [mm] k^3, [/mm] somit verhält sich für große k die Folge [mm] \bruch{k}{k^{3}+1} [/mm] etwa wie [mm] 1/k^2.
[/mm]
Daher die Vermutung: obige Reihe ist konvergent, und das wird mit dem Majorantenkrit. erledigt.
Versuch: finde ein positives c mit [mm] \bruch{k}{k^{3}+1} \le c/k^2 [/mm] für fast alle k.
Durch Äquivalenzumformungen siehst Du, dass schon c=1 das Gewünschte leistet.
Noch ein Beispiel, die Reihe:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^2}{k^{3}+k} [/mm] $
Für große k verhält sich [mm] \bruch{k^2}{k^{3}+k} [/mm] etwa wie 1/k. Vermutung: die Reihe ist divergent.
Suche ein c>0 mit [mm] \bruch{k^2}{k^{3}+k} \ge [/mm] c/k. Versuch Dich mal dran und zeige: mit c=1/2 gilt
[mm] \bruch{k^2}{k^{3}+k} \ge [/mm] c/k für k [mm] \ge [/mm] 2
FRED
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Danke für die Erklärung, Fred. Langsam beginne ich die Zusammenhänge zu begreifen.
Eine Frage aber noch zu der Aufgabe:
Lässt sich diese Aufgabe nur mit dem Majorantenkriterium lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 23.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum probierst du das nicht? Aber etwa das Quotientenkriterium führt nicht direkt zu Ziel.
Du musst einfach ein paar wenige, als konvergent bekannte Reihen kennen, hier die für [mm] a_k=k^{\alpha} [/mm] mit [mm] \alpha>1
[/mm]
Wenn dus direkt beweisen willst, sieh dir den Beweis dafür aus der Vorlesung an, den kannst du nachmachen!
Dann kommt noch die geom. Reihe und mehr Majoranten kommen praktisch nicht vor!
D.h. wenn du eine von denen als Majorante findest, ist jeder andere beweis umstndlicher, weil er auf den Bewies für diese majoranten zurückführt.
Gruss leduart
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