Konvergenz Majo./Minoran < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k^2}).
[/mm]
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I) [mm] k^2 [/mm] ist nach Otto Foster Ana. I §7 ff. eine konvergente Majorante zu [mm] ln(1+\bruch{1}{k^2}) \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k^2}) [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}
[/mm]
II)
z.z.
[mm] ln(1+\bruch{1}{k^2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k^2}
[/mm]
[mm] ln(1+\bruch{1}{k^2}) [/mm] < [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] / [mm] e^x [/mm] ; [mm] 1+\bruch{1}{k^2} [/mm] < [mm] e^\bruch{1}{k^2}=(e^\bruch{1}{k})^\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] k^2 [/mm] + 1 < [mm] K^2 (e^\bruch{1}{k})^\bruch{1}{k}
[/mm]
1<e
Daraus folgt die Behauptung:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k^2}) [/mm] ist konvergent.
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> Man untersuche auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k^2}).[/mm]
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> I) [mm]k^2[/mm] ist nach Otto Foster Ana. I §7 ff. eine konvergente
> Majorante zu [mm]ln(1+\bruch{1}{k^2}) \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k^2})[/mm]
> < [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm]
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> II)
> z.z.
> [mm]ln(1+\bruch{1}{k^2}[/mm] < [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm]
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> [mm]ln(1+\bruch{1}{k^2})[/mm] < [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] / [mm]e^x[/mm] ;
> [mm]1+\bruch{1}{k^2}[/mm] <
> [mm]e^\bruch{1}{k^2}=(e^\bruch{1}{k})^\bruch{1}{k}[/mm]
>
> [mm]k^2[/mm] + 1 < [mm]K^2 (e^\bruch{1}{k})^\bruch{1}{k}[/mm]
> 1<e
> Daraus folgt die Behauptung:
Hallo,
wie denn?
Ich seh da nichts...
roadrunner schlägt Dir im anderen Thread ja den Ansatz mit der Potenzreihe vor,
meine Idee wäre, für die Abschätzung hier wie dort mit dem MWS zu arbeiten.
Gruß v. Angela
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{k^2})[/mm] ist konvergent.
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