Konvergenz, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+n+1}-n [/mm] konvergiert und bestimme den Grenzwert. |
Ich habe als Grenzwert [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Ich hab mit überlegt, das mit dem Einschnührungssat zu machen.
Ich suche mir also zwei Folgen, die auch gegen 0,5 laufen mit
[mm] b_n \le a_n \le c_n [/mm] .
Für [mm] b_n [/mm] hab ich [mm] \wurzel{n^{2}+n+0,25}-n
[/mm]
Ich finde allerdings für [mm] c_n [/mm] nichts.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Der Trick bei diesem Aufgabentyp mit Wurzeldifferenzen ist meist die dritte binomische Formel:
[mm]\sqrt{n^2 + n + 1} - n = \frac{\left( \sqrt{n^2 + n + 1} - n \right) \left( \sqrt{n^2 + n + 1} + n \right)}{ \sqrt{n^2 + n + 1} + n } = \frac{n+1}{n + n \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}}[/mm]
[mm]= \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}}[/mm]
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