Konvergenz Gauss-Seidel... < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Do 08.03.2007 | | Autor: | tragor |
| Aufgabe | Sei [mm]A\in\IR[/mm] gegeben durch
[mm]
\pmat{ 3 & 1 & 0 & 0 & -2 \\
1 & 3 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ }
[/mm]
Untersuche, ob das Einzelschrittfervahren zur Lösung von [mm]A x = b[/mm] für jede Wahl von [mm]b[/mm] und [mm]x_{0}[/mm] konvergiert. |
Hallo,
ich weiss von folgenden Konvergenzkritrien:
1.) Ist die Matrix symmetrisch und positiv definit, dann folgt Konvergenz. FALSE
2.) Ist die Matrix unzerlegbar und erfüllt das schwache Zeilensummenkriterium, so folgt Konvergenz.
(Da ist mir noch nicht ganz klar, was unzerlegbar genau heisst... Kann man das anwenden? Sieht ja schonmal gut aus, da das schwache Krit. erfüllt ist, nur wie zeige ich unzerlegbar? Eine Möglichkeit wäre, wenn die Matrix eine Tridiagonalmatrix ohne Nullen auf der Nebendiagonalen wäre, aber das fällt ja flach... Für zerlegbar könnte man wohl etwas mit gerichteten Graphen und/oder Permutationsmatrix machen???)
3.) Ist das starke Zeilensummenkriterium erfüllt, so folgt Konvergenz.
FALSE
4.) Wenn der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner 1 ist, folgt Konvergenz.
(Recht aufwändig hier... Wäre mir wohler, wenn es eleganter geht!?)
Was ist hier das beste Vorgehen? Hab ich noch ein Konvergenzkriterium übersehen?
Danke schonmal!
tragor
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Fr 09.03.2007 | | Autor: | zedoo |
Schribst du zufällig am Montag ne Numerik Klausur? Ich auch..
Schau mal in dem Skript der Uni Heidelberg. (suche nach numerik 0, heidelberg, rannacher)
Da findest du heraus, daß du einfach nur den Graphen der Matrix zeichnen musst. Ist der Graph zusammenhängend, dann folgt unzerlegbarkeit und somit Konvergenz. (Aber auf Voraussetzungen achten!)
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Fr 09.03.2007 | | Autor: | tragor |
Hi zedoo,
jupp ich muss auch am Montag ran! Das Rannacher-Skript ist auch in Benutzung. Danke für den Tipp, ich werd' mal schaun, ob's sich damit machen lässt...
Da ich nachschreibe weiss ich nicht, was ich von der Klausur erwarten soll, da ich nicht in die Vorlesung konnte und keiner meiner Kollegen das schreibt. Was glaubst Du, reicht es die Aufgaben zur Klausurvorbereitung (und die rechenlastigeren Übungsblätter) als Repräsentanten möglicher Klausuraufgaben zu nehmen?
In wie weit weicht das Rannacher-Skript denn von der Vorlesung ab?
Und wenn ich schon mal dabei bin: Kennst Du das Skript vom Dedner, bzw. die Mitschrift vom Pablo? Ist das brauchbar?
Sorry wegen der vielen Fragen, aber wenn man schon mal einen an der Angel hat... 
Viel Erfolg Dir schonmal!
Grüße,
tragor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Sa 10.03.2007 | | Autor: | zedoo |
Ich finde das Rannacher Skript sehr gut, auch wenn kleine Fehler darin sind, was manchmal sehr verwirrend sein kann, denn man denkt ja immer die Professoren machen alles richtig... nenene.
Nochmal zu der eigentlichen Frage: Du musst einfach den Graphen der Matrix zeichnen. Bei ner nxn Matrix hast du genau n Knoten. Und vom Knoten i zum Knoten j geht genau dann eine gerichtete Kante, wenn der Eintrag a_ij ungleich null ist. Wenn der Graph dann zusammenhängend ist (du kannst von jedem Knoten jeden anderen Knoten (über umwege) erreichen. Dann ist die (diagonaldominante und in einer Zeile streng diagonaldominante) Matrix unzerlegbar. => Gauss Seidel knovergiert.
Ich hoffe, daß die Klausurvorbereitungsblätter eine repräsentative Klausur darstellen...
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Sa 10.03.2007 | | Autor: | tragor |
Danke, das hat hingehauen!
Gruß
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