Konvergenz/Divergenz v. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 04.12.2007 | | Autor: | silencio |
Ich weiß, wenn eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\alpha a_{n} [/mm] mit [mm] \alpha\in\IR.
[/mm]
Meine Frage ist nun, ob dies auch bei Divergenz gilt, also wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] divergiert, dass dann auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\alpha a_{n} [/mm] mit [mm] \alpha\in\IR [/mm] divergiert.
Genau geht es um die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}1/1000*1/n. [/mm] Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}1/n [/mm] ist ja divergent, gilt da dann auch die Regel, dass die Reihe mit einem Faktor [mm] \alpha, [/mm] also in diesem Fall 1/1000, divergiert?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo silencio,
sofern das [mm] $\alpha\neq [/mm] 0$ ist, gilt das!
Du kannst ja hier [mm] $\sum\limits_k\alpha\cdot{}a_k$ [/mm] das [mm] $\alpha$ [/mm] aus der Summe ziehen:
[mm] $\sum\limits_k\alpha\cdot{}a_k=\alpha\cdot{}\sum\limits_ka_k$
[/mm]
[mm] $\alpha$ [/mm] ist ja als feste reelle Zahl beschränkt, da kann also bzgl. der Divergenz nix passieren. [mm] $\alpha\cdot{}\infty=\infty$
[/mm]
Es sei denn [mm] $\alpha=0$, [/mm] dann ist [mm] $\sum\limits_k\alpha\cdot{}a_k=\sum\limits_k0=0$, [/mm] also konvergent
LG
schachuzipus
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