Konvergenz/Divergenz einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 So 08.08.2004 | | Autor: | JohnnyFu |
Hallo,
es geht um folgende Reihe: [mm] \sum{\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}-(-1)^n}}
[/mm]
Diese Reihe ist angeblich divergent!
Für [mm]a_n = \bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}-(-1)^n}[/mm] könnte man eine Minorante abschätzen, die allerdings negativ wäre,
[mm]\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}-(-1)^n}>\bruch{-1}{\wurzel{n}+1}[/mm]
und somit nicht zu Divergenz beitragen würde.
Mache ich da eine zu schlechte Abschätzung?
Versuche ich das ganze mit dem Leibnitz-Kriterium:
[mm]a_n = (-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n}-(-1)^n}[/mm]
und schätze
[mm]\bruch{1}{\wurzel{n}-(-1)^n}<\bruch{1}{\wurzel{n}-1}[/mm]
ab, erhalte ich damit eine monotone Nullfolge und somit Konvergenz der Reihe. Darf ich da überhaupt abschätzen??? Oder gibt es keinen Weg, die geforderte Monotonie zu umgehen?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 08.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo JohnnyFu
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich habe zwar noch keine richtige Antwort zur Stelle, aber doch Bemerkungen zu deinem Vorgehen beim Leibniz-Kriterium.
> es geht um folgende Reihe:
> [mm]\sum{\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}-(-1)^n}}
[/mm]
> Diese Reihe ist angeblich divergent!
>
> Für [mm]a_n = \bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}-(-1)^n}[/mm] könnte man eine
> Minorante abschätzen, die allerdings negativ wäre,
>
> [mm]\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}-(-1)^n}>\bruch{-1}{\wurzel{n}+1}[/mm]
> und somit nicht zu Divergenz beitragen würde.
> Mache ich da eine zu schlechte Abschätzung?
>
>
> Versuche ich das ganze mit dem Leibnitz-Kriterium:
> [mm]a_n = (-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n}-(-1)^n}[/mm]
> und schätze
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}-(-1)^n}<\bruch{1}{\wurzel{n}-1}[/mm]
> ab, erhalte ich damit eine monotone Nullfolge und somit
> Konvergenz der Reihe. Darf ich da überhaupt abschätzen???
> Oder gibt es keinen Weg, die geforderte Monotonie zu
> umgehen?
Ich denke, da ist ein Fehler drin. Leibniz fordert ja, dass die Folge Absolutbeträge der Glieder streng monoton gegen Null konvergiert. Das ist hier doch nicht der Fall:
Ich unterscheide die Glieder mal nach geradem und ungeradem $n$:
Dann ist für gerades $n$
[mm] $a_{n}= \bruch{1}{\wurzel{n}-1}$
[/mm]
und sein Absolutbetrag für $n>0$ ist: [mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}-1}$
[/mm]
... und für ungerades $n$
[mm] $a_{n}= \bruch{-1}{\wurzel{n}+1}$
[/mm]
und sein Absolutbetrag ist: [mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}+1}$
[/mm]
Jetzt lässt sich leicht abschätzen, dass das Glied mit geradem $n$ im Absolutbetrag grösser ist als sein unmittelbar voranstehendes Glied.
Durch Quotientenbildung der Absolutbeträge der Gliedes mit geradem $n$ und seinem unmittelbaren Vorgänger erhalte ich nämlich:
[mm] $\bruch{a_{n}}{a_{n-1}}=\bruch{\wurzel{n-1}+1}{\wurzel{n}-1}$
[/mm]
weiter:
[mm] $\bruch{\wurzel{n-1}+1}{\wurzel{n}-1} [/mm] > 1$ (?)
Multipliziert mit dem Nenner:
[mm] $\wurzel{n-1}+1 [/mm] > [mm] \wurzel{n}-1$ [/mm] (?)
oder
[mm] $\wurzel{n-1} [/mm] > [mm] \wurzel{n}-2$ [/mm] (!)
Dies ist für grosse $n$ erfüllt!
Das heisst aber, dass die Absolutbeträge nicht streng monoton gegen Null konvergieren. Mir scheint, dass die Reihe eigentlich nach [mm] $\infty$ [/mm] divergiert.
Vielleicht kannst du das Divergieren durch Zusammenfassen von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern (in Klammer setzen und auswerten/abschätzen) zeigen? Ich habs noch nicht versucht, ist nur so eine Idee.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Mo 09.08.2004 | | Autor: | JohnnyFu |
Vielen Dank für Deine Antwort!
Das hat mir ziemlich zu denken gegeben... zugegeben hab ich nämlich den groben Denkfehler gemacht, dass in
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{n}-(-1)^n} [/mm] $
die Differenz zwischen [mm] $\wurzel(n)$ [/mm] und [mm] $\wurzel(n+1)$ [/mm] für große $n$ immer größer würde und deshalb die alternierende $1$ nicht mehr ins Gewicht fallen würde... deshalb mein Abschätzungsversuch!
Allerdings wird von Leibniz laut meinem bescheidenen Wissen lediglich einfach Monotonie (in Verbindung mit Nullfolge) verlangt.
Gruß Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Mo 09.08.2004 | | Autor: | JohnnyFu |
Auch Dir nochmals vielen Dank.
Ohne Dein Beispiel hätte ich wohl noch recht lange gebraucht. Das ist im Vergleich zu den Aufgaben, die ich bisher angeschaut hab, doch bisschen kniffliger...
Bei alternierenden Reihen, die nicht zu Leibniz einladen, werd' ich an Dich denken 
Finde dieses Board bisher schon sehr hilfreich - nach meinen Klausuren komm ich hoffentlich auch mal zu Beiträgen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 09.08.2004 | | Autor: | JohnnyFu |
In dieser Lösung fasst Du ja zwei Reihenglieder zusammen und nimmst in gewisser Weise eine Umordnung vor, oder?
$ [mm] \sum{\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}-(-1)^n}} [/mm] $ zu $ [mm] \summe_{k=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{2k}-1} - \frac{1}{\sqrt{2k+1}+1} \right) [/mm] $
Aber dabei wird doch unter Umständen der Grenzwert der Reihe verändert - vor allem bei divergenten Reihen entsteht dann unter Umständen eine Konvergenz. Ist das nicht so?
Wann darf ich dann diese Methode anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo JohnnyFu!
> Aber dabei wird doch unter Umständen der Grenzwert der Reihe
> verändert - vor allem bei divergenten Reihen entsteht dann unter
> Umständen eine Konvergenz. Ist das nicht so?
Im Prinzip hast du recht, das ist in gewisser Weise eine Umordnung und das darf man ja nur bei absolut konvergenten Reihen machen. (Soviel ich weiß). Man betrachte zum Beispiel die divergente Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}
[/mm]
und die veränderte, konvergente Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{n}((-1)^{i}+(-1)^{i+1}) [/mm] = 0
Aber in unserem Fall macht es nichts aus, betrachten wir allgemein eine Nullfolge [mm] a_{n}, [/mm] und zwei Summenfolgen:
[mm] s_{n}= \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
[mm] t_{n}= \summe_{i=1}^{2n} a_{i}
[/mm]
Das ist genau das, was Stefan gemacht hat (abgesehen vom Weglassen von [mm] a_{1}).
[/mm]
Wichtig ist jetzt, dass [mm] a_{n} [/mm] gegen 0 konvergiert. Und dann gilt auch schon: Wenn [mm] t_{n} [/mm] gegen unendlich geht, dann auch [mm] s_{n}.
[/mm]
Denn für gerade n stimmt [mm] s_{n} [/mm] mit [mm] t_{n/2} [/mm] überein. Wenn n ungerade ist, dann gilt zumindest:
[mm] |s_{n} [/mm] - [mm] s_{n+1}| [/mm] <= [mm] |a_{n+1}|
[/mm]
Da [mm] |a_{n+1}| [/mm] beliebig klein (Nullfolge) wird und der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern der Summenfolge [mm] s_{n} [/mm] damit auch gegen 0 geht, müssen die Folgenwerte [mm] s_{n} [/mm] mit ungeradem n natürlich auch gegen unendlich gehen und damit ist die Behauptung bewiesen.
Gruß Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Di 10.08.2004 | | Autor: | JohnnyFu |
Hmmm...
so ganz werd ich nicht daraus schlau, was Du da geschrieben hast...
also die bestehende Nullfolge ist noch klar...
Die verwendet Stefan dann in zwei Teilsummen (die in Deinem Beispiel wohl mit [mm] $s_n$ [/mm] dargestellt werden)
$ [mm] \summe_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}-1}$ [/mm] und $ [mm] \summe_{k=1}^n \frac{-1}{\sqrt{2k+1}+1}$,
[/mm]
deren Summe offensichtlich divergiert.
[mm] $t_n$ [/mm] soll wohl für die gesamte Reihe stehen?!?
Sorry, Du hast das wahrscheinlich in 'ner viertel Stunde ohne Probleme runtergeschrieben - danke auch - aber Mathe ist für mich neuerdings ne ziemliche Hürde... wenn Du mir nochmals die Parallelen kurz darstellen könntest.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Di 10.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo JohnnyFu!
> so ganz werd ich nicht daraus schlau, was Du da geschrieben
> hast...
Das tut mir leid und ist sicherlich nicht deine Schuld. Ich muss also noch einiges im Bereich verständliches Erklären lernen - Auf geht's!
> also die bestehende Nullfolge ist noch klar...
Genau. Ich habe allgemein die Nullfolge [mm] a_{n} [/mm] gewählt. In unserem Fall ist:
[mm] a_{n}:=\bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n}-(-1)^{n}}
[/mm]
offensichtlich eine Nullfolge, wie man leicht zeigen kann.
> Die verwendet Stefan dann in zwei Teilsummen (die in Deinem
> Beispiel wohl mit [mm]s_n[/mm] dargestellt werden)
> [mm]\summe_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}-1}[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^n \frac{-1}{\sqrt{2k+1}+1}[/mm],
>
> deren Summe offensichtlich divergiert.
>
> [mm]t_n[/mm] soll wohl für die gesamte Reihe stehen?!?
>
> Sorry, Du hast das wahrscheinlich in 'ner viertel Stunde
> ohne Probleme runtergeschrieben - danke auch - aber Mathe
> ist für mich neuerdings ne ziemliche Hürde... wenn Du mir
> nochmals die Parallelen kurz darstellen könntest.
Ich habe ja [mm] s_{n}:= \summe_{i=1}^{n}a_{i} [/mm] definiert und daher ist [mm] s_{n} [/mm] einfach die Reihe, deren Konvergenz/Divergenz du ermitteln willst, also gilt:
[mm] s_{n}:= \summe_{i=1}^{n}\bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n}-(-1)^{n}}
[/mm]
[mm] t_{n} [/mm] hingegen rechnet die ersten 2*n Werte von [mm] a_{n} [/mm] zusammen. Da 2*n immer gerade ist, klappert die Folge [mm] t_{n} [/mm] einfach die Werte von [mm] s_{n} [/mm] mit geradem n ab. Also zum Beispiel:
[mm] t_{1} [/mm] = [mm] s_{2}
[/mm]
[mm] t_{2} [/mm] = [mm] s_{4}
[/mm]
[mm] t_{3} [/mm] = [mm] s_{6}
[/mm]
Stefan hat das ein bißchen anders gemacht. Er hat in seiner Reihe, die dir Probleme bereitet, [mm] s_{2} [/mm] bis [mm] s_{2n+1} [/mm] zusammengefasst.
Ich versuche jetzt noch einmal, den Gedankengang zu erklären. Wir wissen durch Stefan, dass die Folge [mm] t_{n} [/mm] gegen unendlich geht (Wie gesagt, er benutzt eine etwas variierte Folge, das macht aber keinen wesentlichen Unterschied aus). Betrachten wir nun das Verhalten der Werte von [mm] s_{n}, [/mm] also der deiner Reihe zugeordneten Partialsummenfolge! Für gerade n, also n = 2m, stimmt [mm] s_{n} [/mm] = [mm] s_{2m} [/mm] ja mit [mm] t_{n/2}=t_{m} [/mm] überein und daher müssen die Folgenwerte [mm] s_{2m} [/mm] gegen unendlich gehen. Da aber, wie ich schon zeigte, der Abstand zwischen zwei Folgengliedern [mm] s_{2m} [/mm] und [mm] s_{2m+1} [/mm] gegen 0 geht [mm] (a_{n} [/mm] ist Nullfolge), müssen auch die Werte der Folge s mit ungeradem n, also [mm] s_{2m+1}, [/mm] gegen unendlich gehen. Also geht [mm] s_{n} [/mm] gegen unendlich.
Gruß Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 10.08.2004 | | Autor: | JohnnyFu |
Ok, Clemens, ich glaube, ich habe verstanden, was Du da machst...
Aber die gerade Teilfolge [mm] $s_{2n}$ [/mm] geht doch gegen [mm] $+\infty$ [/mm] und die ungerade gegen [mm] $-\infty$ [/mm] - und über die Summe davon lässt sich ohne weiteres ja nichts aussagen... das vernachlässigst Du aus irgendeinem Grund... wenn beide Teilfolgen positiv wären, hätte ich kein Problem mit Deiner Argumentation, warum diese Reihe auf jeden Fall divergent sein muß und ich hier umordnen darf ...
So wäre zum Beispiel auch die Reihe der Folge
$ [mm] a_{n}:=\bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n}+1} [/mm] $
divergent.
Denn
[mm] $\summe a_{2n}:=\bruch{1}{ \wurzel{2n}+1}$
[/mm]
ist schließlich divergent
und
[mm] $\summe a_{2n+1}:=\bruch{-1}{ \wurzel{2n+1}+1}$
[/mm]
schließlich auch...
Ist aber nach Leibniz konvergent, da [mm] $a_n$ [/mm] monotone Nullfolge ist.
Meine Folge $ [mm] s_{n}:= \summe_{i=1}^{n}\bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n}-(-1)^{n}} [/mm] $ wäre ja konvergent, wenn nicht ein [mm] $a_{2n}$ [/mm] einen größeren Betrag hätte als ein vorhergehendes [mm] $a_{2n-1}$...
[/mm]
Naja, ich hab verstanden, warum ich Leibniz nicht nehmen darf...
Ich weiß nicht genau, wo ich da hängen bleib...
Gruß Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Di 10.08.2004 | | Autor: | JohnnyFu |
So, ich hab eine Lösung gefunden, welche auch ich verstehen kann
Also, man nimmt an, die Reihe sei konvergent!
Demnach würde das Konvergenzverhalten durch Klammernsetzen nicht verändert...
Dem ist allerdings dank Stefans Beweis nicht so. Die als konvergent angenommene Reihe geht nun gegen unendlich --> durch Klammernsetzen wird das Konvergenzverhalten verändert.
Somit ist die Annahme wiederlegt - die Reihe muß divergent sein!
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruß Johnny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo JohnnyFu!
> So wäre zum Beispiel auch die Reihe der Folge
>
> [mm]a_{n}:=\bruch{(-1)^{n}}{ \wurzel{n}+1}[/mm]
> divergent.
> Denn
> [mm]\summe a_{2n}:=\bruch{1}{ \wurzel{2n}+1}[/mm]
> ist schließlich
> divergent
> und
> [mm]\summe a_{2n+1}:=\bruch{-1}{ \wurzel{2n+1}+1}[/mm]
> schließlich auch...
Ah, jetzt verstehe ich, was dein Problem ist. Du denkst, dass ich zu einer gegebenen Nullfolge [mm] a_{n} [/mm] und ihrer "Summenfolge"
[mm] s_{n}:= \summe_{i=1}^{n}a_{i} [/mm]
eine zweite Summenfolge [mm] j_{n} [/mm] konstruierte, die immer die [mm] a_{n} [/mm] mit geradem n zusammenzählt, also
[mm] j_{n}:=\summe_{i=1}^{n}a_{2i} [/mm]
Ich konstruiere aber eine Summenfolge, die immer alle Folgenwerte bis zu einem gerade n zusammenzählt, also
[mm] t_{n}:=\summe_{i=1}^{2n}a_{i}
[/mm]
Ich hoffe, du siehst den Unterschied. Wie du schon festgehalten hast: Wenn man weiß, dass [mm] j_{n} [/mm] konvergiert bzw. divergiert, so hat man noch keine Aussage über [mm] s_{n} [/mm] gewonnen. Bei [mm] t_{n} [/mm] ist das aber was anderes. Wenn du Zeit und Lust hast, kannst du meine vorangegangenen Beiträge ja noch einmal unter diesem Gesichtspunkt durchlesen.
> Aber die gerade Teilfolge [mm] s_{2n} [/mm] geht doch gegen [mm] \infty [/mm] und
> die ungerade gegen - [mm] \infty [/mm] und über die Summe davon lässt sich
> ohne weiteres ja nichts aussagen...
Die gerade Teilfolge [mm] s_{2n} [/mm] geht gegen unendlich, sie ist ja gerade mein [mm] t_{n}. [/mm] Und die ungerade auch, wie ich jetzt zeigen werde:
Für alle n gilt: [mm] s_{2n + 1} [/mm] = [mm] s_{2n} [/mm] + [mm] a_{2n + 1}.
[/mm]
Da [mm] a_{2n + 1} [/mm] Nullfolge ist, existiert ein N1, so dass für alle n > N1 gilt, dass [mm] |a_{2n + 1}| [/mm] < 1. Damit gilt für alle n > N1:
[mm] |s_{2n+1}-s_{2n}| [/mm] = [mm] |a_{2n+1}| [/mm] < 1
Da [mm] t_{n} [/mm] := [mm] s_{2n} [/mm] gegen unendlich geht, gibt es für jedes (S+1) aus R ein NS aus N derart, dass für alle n > NS gilt, dass
[mm] s_{2n} [/mm] > S + 1
Für alle [mm] s_{2n + 1} [/mm] mit n > max(NS,N1) gilt dann:
[mm] s_{2n + 1} [/mm] = [mm] s_{2n} [/mm] + [mm] a_{2n + 1} [/mm] > S + 1 + [mm] a_{2n + 1} [/mm] > S
Also gilt für alle [mm] s_{n} [/mm] mit n > max(NS,N1), dass
s{n} > S
Also geht [mm] s_{n} [/mm] gegen unendlich.
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Mi 11.08.2004 | | Autor: | JohnnyFu |
cool - jetzt weiß ich, was Du meinst - hatte es schon fast aufgegeben. Danke für die Geduld!
Das Missverständnis lag tatsächlich, daran dass ich an [mm]j_{n}:=\summe_{i=1}^{n}a_{2i}[/mm] dachte, wenn Du [mm]t_{n}:=\summe_{i=1}^{2n}a_{i}
[/mm] meintest, und hab bei mir gedacht: ok, vielleicht kann man das ja auch so schreiben... aber jetzt ist klar! Deswegen auch die verwendung von Summenfolgen. Manchmal bin ich bisschen schwer von Begriff :)
Gruß und schönen Tag noch!
Johnny
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