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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n} [/mm] -1) |
Hallo,
Ich hab hier leider große Schwierigkeiten: Erstens habens wirs hier mit einer Nullfolge zu tun, das Cauchykriterium ist also erfüllt, aber sowohl beim Wurzel- als auch beim Quotientenkriterium wird [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup ...= 1, womit ich nicht entscheiden kann, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Hier auf eine Majorante oder Minorante zu hoffen scheint mir auch ziemlich unmöglich...
Hoffe jmd. hat einen Tipp für mich, vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 22.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Di 22.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
kann denn keiner mir helfen? Ich vermute mal ziemlich stark, dass die Reihe divergiert. Auf jeden Fall weiß ich aus dem Binomischen Lehrsatz, dass gilt: 1+ [mm] \bruch{2}{\wurzel{n}} \ge \wurzel[n]{n}. [/mm] Wenn ich so eine ähnliche Abschätzung nach unten hätte, könnt man da wohl ne Minorante finden... nur wie anstellen, das Ganze?
Viele Grüße
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Huhu,
kurzes Brainstorming:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n}-1)$
[/mm]
$= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n}-1)\bruch{\summe_{k=0}^{n-1}{(\sqrt[n]{n})}^k}{\summe_{k=0}^{n-1}{(\sqrt[n]{n})}^k} [/mm] $
$= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n - 1}{\summe_{k=0}^{n-1}{(\sqrt[n]{n}})^k}$
[/mm]
Nun gilt für ausreichend große n, dass: [mm] $\sum_{k=0}^{n-1}{\sqrt[n]{n}}^k \le {(\sqrt[n]{n})}^n [/mm] = n$
Jetzt kommst bestimmt weiter.
edit:
Ok, es gilt [mm] $\sum_{k=0}^{n-1}{x}^k \le {x}^n$ [/mm] für große x, das Problem oben ist aber, dass wenn das "x" also sprich [mm] \sqrt[n]{n} [/mm] wächst, eben das n wächst und damit die Summe. Da geht die Abschätzung wahrscheinlich kaputt.
Aber helfen wird dir das hoffentlich trotzdem 
MFG,
Gono.
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Und jetzt der einfache Weg:
Es gilt ja [mm] $\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n \to [/mm] e$ monton wachsend
Daher gilt ab $n=3$
$n [mm] \ge \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt[n]{n} \ge [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt[n]{n} [/mm] - 1 [mm] \ge \bruch{1}{n}$
[/mm]
Nunjo, den Rest schaffst jetzt wirklich allein
Interessanterweise sagt Wolframalpha aber, die Summe würde konvergieren gegen irgendwas um die [mm] $10^{18}$.... [/mm] aber obiges Ding besagt das genaue Gegenteil.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Mi 23.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
> Und jetzt der einfache Weg:
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> Es gilt ja [mm]\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n \to e[/mm] monton
> wachsend
>
> Daher gilt ab [mm]n=3[/mm]
>
> [mm]n \ge \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> [mm]\gdw \sqrt[n]{n} \ge (1 + \bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\gdw \sqrt[n]{n} - 1 \ge \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Nunjo, den Rest schaffst jetzt wirklich allein
>
> Interessanterweise sagt Wolframalpha aber, die Summe würde
> konvergieren gegen irgendwas um die [mm]10^{18}[/mm].... aber obiges
> Ding besagt das genaue Gegenteil.
>
Danke dir, eine wirklich elegante Art auf die Lösung zu kommen. Da liegt dann wohl Wolframalpha gehörig falsch...
Viele Grüße
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