Konvergenz, Bew, Gegenbsp, < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Fr 17.04.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] reelle Folgen, [mm] (a_n) [/mm] beschränkt, [mm] b_n \rightarrow [/mm] b, [mm] c_n [/mm] := [mm] 2^{a_n b_n} [/mm] und [mm] d_n [/mm] = [mm] 10^{10} (a_n (b_n-b)).
[/mm]
Richtig oder Falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
a) [mm] (c_n) [/mm] ist beschränkt
b) [mm] (c_n) [/mm] ist konvergent
c) [mm] (d_n) [/mm] ist konvergent
d) [mm] (d_n c_n) [/mm] ist konvergent |
Hallo;)
Da [mm] a_n [/mm] beschränkt ist [mm] \exists [/mm] K>0: [mm] |a_n| \le [/mm] K [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] |2^{a_n b_n}| [/mm] = [mm] 2^{a_n b_n} \le 2^{K b_n}
[/mm]
Da [mm] b_n \rightarrow [/mm] b konvergiert ist [mm] (b_n) [/mm] beschränkt: [mm] \exists [/mm] R>0: [mm] |b_n| \le [/mm] R [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] ..2^{K b_n}\le 2^{KR}
[/mm]
Damit ist a) richtig
b)
Ich glaube b) ist falsch, ich habe jedoch noch kein konkretes Gegenbeispiel gefunden.
c)
[mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |b_n-b|<\epsilon
[/mm]
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig und [mm] \overline{\epsilon}=\frac{\epsilon}{10^{10} K}
[/mm]
[mm] |d_n| [/mm] < [mm] 10^{10} [/mm] K * [mm] \overline{\epsilon} [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
c) ist also richtig
d)
Hier bräuchte ich auch einen Tipp, finde da gar keinen Ansatz.
[mm] d_n c_n [/mm] = [mm] 10^{10} (a_n (b_n-b))2^{a_n b_n}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Fr 17.04.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich wollte gerade in dem Augenblick eine Mitteilung machen mit [mm] a_n=(-1)^n, b_n=1.
[/mm]
Danke;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Sa 18.04.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_n=(-1)^n [/mm] ist beschränkt
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:22 Sa 18.04.2015 | | Autor: | sissile |
Danke, aber wenn du eine Mitteilung weiter oben schaust habe ich das nun auch endlich erkannt ;D
Würde mich über Hilfe bei d) sehr freuen!
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Sa 18.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke, aber wenn du eine Mitteilung weiter oben schaust
> habe ich das nun auch endlich erkannt ;D
> Würde mich über Hilfe bei d) sehr freuen!
Das Produkt einer beschränkten Folge und einer Nullfolge ist eine Nullfolge
FRED
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Sa 18.04.2015 | | Autor: | sissile |
Du hast recht, hatte die ganze Zeit nur daran gedacht, dass allgemein wenn [mm] a_n [/mm] beschränkt ist und [mm] b_n [/mm] konvergent, [mm] a_n b_n [/mm] nicht konvergent sein muss. Aber wenn [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge ist das ja anders!
Danke!
LG,
sissi
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