Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Di 13.08.2013 | | Autor: | Tyson |
| Aufgabe | HAllo ich habe probleme bei einer Aufgabe:
Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren. Welche konvergieren absolut?
[mm] \summe_{n=1}^{unendlich} (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] >= [mm] a_n+1
[/mm]
2n+1 >= 0
Majorante :
[mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
KAnn ich damit sagen das die Reihe divergiert? |
nicht gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 13.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein mit einer majorante kann man nie Divergenz zeigen!
1. zeig die Konvergenz der Reihe (Leibniz)
2, auch absolut konvergiert die Reihe! warum steht in vielen skripten und Büchern.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Di 13.08.2013 | | Autor: | Tyson |
Was soll ich jetzt genau machen ?
Weil mein Ansatz ist ja anscheinend falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Di 13.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Tyson,
Bitte lies dir ersteinmal die Antwort von leduart gründlich durch und versuche, deren Sinn und Zweck zu verstehen. Stelle dann vernünftige und präzise Fragen und veranstalte nicht wieder so eine infantile Selbst-Demontage wie in deinen sonstigen Threads und wie im vorigen Beitrag.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
Ich habe als minorante 1/n gefunden . Damit würde die Reihe ja divergieren ,
Was ist daran falsch?
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Hallo Tyson,
> Ich habe als minorante 1/n gefunden.
1) Die vorliegende Reihe ist alternierend, insofern hilft deine Vergleichsreihe nur bei der Untersuchung der absoluten Konvergenz weiter, wenn überhaupt.
2) Für [mm] n\in\IN [/mm] gilt doch [mm] n^2\ge{n}\gdw\bruch{1}{n}\ge\bruch{1}{n^2}
[/mm]
> Damit würde die
> Reihe ja divergieren ,
Darüber kannst Du so keine Aussage treffen.
Außerdem stimmt sie nicht.
> Was ist daran falsch?
Du sollstest wissen, wann [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] konvergiert, nämlich für s>1.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:35 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
Ok jetzt verstehe ich es .
Aber kannst du mir einen Tipp geben wie ich genau weiter Vorgehen soll?
Monoton fallen ist ja die Reihe aber wie gehe ich weiter vor?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:06 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Tyson |
Kannst du mir zuerst einmal deine Denkweise erklären ,wie du auf einmal auf die teleskopsumme als Majorate gekommen bist?
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> Kannst du mir zuerst einmal deine Denkweise erklären ,
Hallo,
zuallererst einmal stellen wir fest, das das Leibnizkriterium bei Deiner Reihe das naheliegendste Kriterium ist,
und statt Deine Gehirnzellen mit Überflüssigem zu überlasten, solltest Du Dir mal das Leibnizkriterium durchlesen und Dir dann in Ruhe klarmachen, daß es bei Deiner Reihe anwendbar ist.
> wie
> du auf einmal auf die teleskopsumme als Majorate gekommen
> bist?
Auf die Idee mit der Teleskopsumme kommt man, weil die Teleskopsumme [mm] \summe \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] stets in der Vorlesung besprochen wird, und weil die Erfahrung lehrt, daß man bei der Bearbeitung von Aufgaben das Besprochene oftmals gut verwenden kann.
Daß
[mm] 1+\bruch{1}{2*2}+\bruch{1}{3*3}+\bruch{1}{4*4}+...\le 1+\bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+... [/mm] ,
ist unmittelbar einsichtig,
und daß die rechte Seite konvergiert, hat man bei der Besprechung von [mm] \summe \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] gelernt.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kannst du mir zuerst einmal deine Denkweise erklären ,wie
> du auf einmal auf die teleskopsumme als Majorate gekommen
> bist?
das ist ein Standardbeispiel der Analysis, dass man in (wohl fast) jedem
guten Buch findet.
Die Abschätzung ist aber klar: Für jedes natürliche $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt
[mm] $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n*(n-1)}\,,$
[/mm]
denn bei einem Bruch $p/q$ mit echt positiven Zahlen [mm] $p,q\,$ [/mm] "vergrößert sich
der Bruch, wenn man den Nenner verkleinert (dabei aber echt positiv läßt)".
(Das ist Standardwissen für Abschätzungen, und Abschätzungen sind ein
Standardwerkzeug für die Analysis. Wenn Du sowas nicht kannst/lernst,
dann bearbeite entsprechend viele Aufgaben, damit Du es erlernst...)
Unabhängig davon könnte man aber die Konvergenz von
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
[/mm]
mit dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchyschen Verdichtungssatz beweisen - denn
damit kann man sogar "mehr" beweisen. Aber ich könnte mir vorstellen,
dass ihr den noch gar nicht zur Verfügung habt...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Mi 14.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> HAllo ich habe probleme bei einer Aufgabe:
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren.
> Welche konvergieren absolut?
> [mm]\summe_{n=1}^{unendlich} (-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
Bei solchen "Lösungen" kommt in mir der Wunsch auf, bei der Korrektur von Klausuraufgaben die Möglichkeit zu haben, Punkte abzuziehen!
Denn Du, als Urheber dieser ausgefuchsten "Lösung" , machst auf mich den Eindruck, dass Du mit aller Gewalt die Klausur nicht bestehen willst.
>
> [mm]a_n[/mm] >= [mm]a_n+1[/mm]
Was ist [mm] a_n [/mm] ??? Warum sagst Du das nicht ? Ich sehe 2 Möglichkeiten, wie Du das meinen könntest:
[mm] a_n=\bruch{1}{n^2} [/mm] oder [mm] \bruch{(-1)^n}{n^2}
[/mm]
Im ersten Fall ist die Ungl. [mm] a_n \ge a_{n+1} [/mm] richtig. Im zweiten Fall ist sie falsch (für ungerades n)
Nun versetze Dich in die Lage eines Korrektors. Was soll er tun ?
>
> 2n+1 >= 0
Boooah ey !!! Was soll diese Trivialität ? Was willst Du uns damit sagen ?
>
> Majorante :
>
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Solche Aussagen liebe ich: präzise, ausführlich und die Sache auf den Punkt gebracht ! Auf welchenPunkt ? Auf den absoluten Nullpunkt !
>
> KAnn ich damit sagen das die Reihe divergiert?
Na klar kannst Du das sagen. Es ist zwar Unfug, aber sagen kannst Du das.
> nicht gestellt
Was ? Den Wecker ? Oder das eigene Bein über das Du stolperst ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Lieber Fred,
Deine Antwort ist , da ich gerade bei der mühsamen Durchsicht meiner Funktionalanalysis Unterlagen bin, eine willkommene und insbesondere lustige Abwechslung.
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Mi 14.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Lieber Fred,
>
>
> Deine Antwort ist , da ich gerade bei der mühsamen
> Durchsicht meiner Funktionalanalysis Unterlagen bin, eine
> willkommene und insbesondere lustige Abwechslung.
Hallo Thomas,
Funktionalanalysis ist mein Hobby (und Beruf). Womit beschäftigst Du Dich gerade ?
Gruß FRED
>
>
>
> Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Fred,
Also derzeit größtenteils mit: Unbeschränkten selbstadjungierten Operatoren (Spektrum und Resolvente eines abg. Operators, Defektzahlen usw.)
Davor meist mit Banachalgebren und Spektralsätzen. Ich wollte die Uni-Ferien nicht tatenlos verstreichen lassen und dachte es kann nicht schaden sich dem Gebiet ein bisschen intensiver zu widmen mit der Feststellung: Du hast ein mehr als anspruchsvolles Hobby + Beruf :)
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mi 14.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > HAllo ich habe probleme bei einer Aufgabe:
> > Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen
> konvergieren.
> > Welche konvergieren absolut?
> > [mm]\summe_{n=1}^{unendlich} (-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
> >
>
>
> Bei solchen "Lösungen" kommt in mir der Wunsch auf, bei
> der Korrektur von Klausuraufgaben die Möglichkeit zu
> haben, Punkte abzuziehen!
ich habe ja viele Klausuren korrigiert - und in der Tat habe ich sowas mal
gemacht, aber nicht offiziell, sondern inoffiziell auf einem Schmierblatt (d.h.
die abgezogenen Punkte wurden nicht in die Klausur eingerechnet, ich
wollte nur mal wissen, was da so passieren kann).
Als aber die ersten drei Klausuren dann nur noch so zwischen 5 und 15 von
- ich glaube, es waren - ca. 40 erreichbare Punkte hatten (obwohl sie mit
neutraler Bewertung so bei etwa 25 und 35 Punkte lagen), wurde ich schon
deprimiert. Noch deprimierter wurde ich, als ich bei der 4. Korrektur einer
Klausur in den negativen Bereich hätte gehen müssen (und dort wurden
dann doch ein paar Punkte erreicht). Danach hatte ich keine Lust mehr, für
mich obligatorisch einen zweiten Klausurwert zu ermitteln... 
Nebenbei: Das Phänomen tritt oft schon bei der Korrektur von
Übungsaufgaben auf. Ich habe da auch schon öfters bei jmd. an den
Rand geschrieben: "Für solch' einen Unfug müsste man eigentlich Pkte.
abziehen..." oder etwas in der Art. Man kann nur hoffen, dass die Leute
das ernst nehmen. Und in der Tat: Diejenigen, die sich gar nicht belehren
ließen (lassen wollten), sind meist irgendwann 'verschwunden'
(Studiengangwechsel oder oder oder...) - und zwar oft, weil sie sich bei der
Studienberatung gemeldet hatten und sich mal beraten ließen, weil sie
merkten, dass sie mit ihrer Arbeitsweise nicht weiterkommen; aber manche,
wenngleich es auch nicht sehr viele waren, sind wirklich nach und nach
"dahintergestiegen". Das Problem dabei ist noch nicht mal immer die
"Faulheit" - sondern das Problem, das ich auch selbst kenne, ist oft, dass
man die universitäre Mathematik unterschätzt - insbesondere auch die
Arbeitsweise bzw. neu ist oft, dass man, theoretisch wirkende, Aufgaben
plötzlich "alleine" lösen muss und nicht nur nachvollziehen muss. Dass man
dafür ein Theorieverständnis entwickeln muss, dass sich nicht unbedingt
direkt dadurch gebildet hat, dass der Dozent einem da vorne ein paar
Sachen erzählt und was 'vorgerechnet' hat, sondern, dass da Eigeninitiative
eine große Rolle spielt: Nacharbeiten von Vorlesungen, sich selbst Fragen
stellen, was man verstanden hat; Versuchen, Missverständnisse zu klären,
und so weiter, und so fort...
Viele unterschätzen, dass ein "fauler", aber sehr guter Mathematikschüler
("faul" nur im Sinne von: er versteht direkt alles und kann alle Aufgaben
aus dem Schulunterricht lösen, also braucht er nichts 'selbst' zu machen)
nicht automatisch ein super Mathematikstudent wird.
Ich denke sogar, dass jemand, der in der Schule "für seine 2 'kämpfen'
muss", vermutlich ein besseres Profil für's Studium hat - denn da gibt's
keine "Umgewöhnungsphase", die vielleicht notwendig wäre: Vielleicht
"fliegt" dieser dann sogar locker und erfolgreich durch's Studium.
Nebenbei: Die Frage, was ein Korrektor in obigen Situationen tun sollte,
war für mich klar: Ich versuche, wenigstens irgendwo noch ein Minimum
an Punkten herauszusuchen, selbst, wenn ich denke, dass jmd. für diese
Aufgabe keine verdient hätte. Und wenn man dann nochmal auf solche
"Kracher" stößt, dann wird es aber schwer, da noch irgendwo was zu
finden oder überhaupt finden zu wollen...
Nebenbei: Ich bin aber auch gegen diese "Strenge" (nach 3 Mal
Nichtbestehen totgeprüft und und und...) - auch, wenn sie ihren Sinn hat.
Ich denke nämlich, dass jemand, der/die 2 Mal die Klausur nicht besteht, sich
beim 3. Mal wirklich schon 'reinhängt'. Und wenn es dann nicht klappt, und
der 4. Versuch ginge wirklich nochmal schief, dann würde der/die eigentlich
eh "aufgeben"...
Aber nun gut: Das mag ein anderes Thema sein!
Gruß,
Marcel
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hier!