Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 03.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Seien [mm] \sum_{n=1}^{\infty } a_n [/mm] und [mm] \sum_{n=1}^{\infty } b_n [/mm] Reihen mit [mm] a_n [/mm] , [mm] b_n [/mm] >0 für alle n [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=d [/mm] exestiert und d>0 ist.
Beweisen Sie: [mm] \sum_{n=1}^{\infty } a_n [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] \sum_{n=1}^{\infty } b_n [/mm] konvergiert. |
Hallo Forum,
erst ein mal freue ich mich sehr, hier wider auf die Seiten von Vorhilfe.de zugreifen zu können.  Ich hab schon gedacht das Forum gäbe es nicht mehr.
Die Aufgabe ist aus einer Hausarbeit, die ich bis auf diese Aufgabe recht gut gemacht hatte. Jetzt möchte ich möglichst eine Lösung haben, ohne in die Musterlösung zu gucken.
Hier meine (recht argumentationslastige) Lösung:
Nehmen wir ein mal an, [mm] \sum_{n=1}^{\infty } a_n [/mm] existiert, dann müßte mit Vorgabe [mm] a_n [/mm] >0 gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a [/mm] mit a [mm] \in [0,\infty)
[/mm]
Da aber auch gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=d [/mm] , muß bei Annahme [mm] \sum_{n=1}^{\infty } a_n=a [/mm] auch gelten:
[mm] \frac{a}{\limes_{n\rightarrow\infty} b_n}=d \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} b_n=\frac{a}{d}
[/mm]
Wobei [mm] \frac{a}{d} \in [0,\infty) [/mm] sein muß.
Somit muß unter Annahme, daß [mm] \sum_{n=1}^{\infty } a_n [/mm] konvergiert auch [mm] \sum_{n=1}^{\infty } b_n [/mm] konvergieren.
... Da ja nun nach der Aufgabe "genau dann wenn" gefordert ist, so müßte ich den zweiten Weg unter Annahme [mm] \sum_{n=1}^{\infty } b_n [/mm] konvergiert auch noch zeigen und wäre dann fertig.
Wäre schön, wenn jemand über die Aufgabe drüber gucken könnte,
Danke,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 03.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest die notwendige Bedingung verwenden, damit die summe konvergiert. was weisst du dann über lim [mm] b_n? [/mm] und damit über lim [mm] a_n?
[/mm]
wenn $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty } a_n [/mm] $ existiert, was weisst du dann über a?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 03.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Natürlich, die notwendige Bedingung, damit [mm] \summe_{i=1}^{n} a_n [/mm] konvergent ist, ist ja nun, daß [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist. Damit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] =a=0
Darauf folgt, daß [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n=\frac{a}{d}=\frac{0}{d}=0
[/mm]
Das bedeutet, daß wenn [mm] \summe_{i=1}^{n} a_n [/mm] konvergiert, [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge sein muß.
Wenn ich das aber richtig verstehe, dann ist das "nur" die Vorraussetzung, damit [mm] \summe_{i=1}^{n} b_n [/mm] konvergent sein kann. Nicht aber der Beweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Sa 03.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Natürlich, die notwendige Bedingung, damit
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n[/mm] konvergent ist, ist ja nun, daß [mm]a_n[/mm]
> eine Nullfolge ist. Damit ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
> =a=0
>
> Darauf folgt, daß [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n=\frac{a}{d}=\frac{0}{d}=0[/mm]
>
> Das bedeutet, daß wenn [mm]\summe_{i=1}^{n} a_n[/mm] konvergiert,
> [mm]b_n[/mm] eine Nullfolge sein muß.
>
>
> Wenn ich das aber richtig verstehe, dann ist das "nur" die
> Vorraussetzung, damit [mm]\summe_{i=1}^{n} b_n[/mm] konvergent sein
> kann. Nicht aber der Beweis.
So ist es.
Wir haben: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=d [/mm] >0$. Dann folgt:
[mm] \bruch{d}{2}< \frac{a_n}{b_n} [/mm] < [mm] \bruch{3d}{2} [/mm] für fast alle n. Also
[mm] b_n*\bruch{d}{2}
Jetzt Majorantenkriterium.
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Sa 03.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Ich bin gerade unterwegs und werde das noch ein mal sauber formulieren, aber jetzt ist es klar. damit ist die reche Seite deiner Ungleichung der Majorant zu [mm] a_n.
[/mm]
Unter Annahme, daß der Majorant konvergiert (also [mm] b_n) [/mm] folgt, daß damit [mm] a_n [/mm] auch konvergiert. Für den Äquivalenzbeweis muß ich dann noch die andere Richtung zeigen.
... ok, vielen Dank. Der Weg ist klar, aber wie kommt man auf so etwas?
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Fr 09.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Forum,
jetzt bin ich nach einem Rechnertausch auch dazu gekommen, die Antwort ein mal sauber zu formulieren und bitte euch, zu gucken, ob das jetzt so schlüssig ist:
Annahme:
[mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n} [/mm] ist konvergent und konvergiert gegen b, dann konvergiert [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } \frac{b_{n}\cdot 3d}{2} [/mm] gegen [mm] \frac{b\cdot 3d}{2}. [/mm] Sei [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } \frac{b_{n}\cdot 3d}{2} [/mm] der Majorant zu [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}, [/mm] dann gilt:
Nach Vorgabe ist für fast alle [mm] n:\lim \limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=d [/mm]
[mm] \frac{d}{2}\leq \frac{a_{n}}{b_{n}}\leq \frac{3d}{2} \Leftrightarrow [/mm]
[mm] \frac{b_{n}\cdot d}{2}\leq a_{n}\leq \frac{b_{n}\cdot 3d}{2} \Leftrightarrow [/mm]
Somit ist [mm] a_{n}\leq \frac{b_{n}\cdot 3d}{2}, [/mm] wonach nach dem Majorantenkriterium auch [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n} [/mm] konvergiert.
Frage: Ich hab jetzt gezeigt, das unter Annahme [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n} [/mm] konvergiert, auch [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n} [/mm] konvergiert. Sehe ich das richtig, daß ich jetzt auch eigentlich noch den umgekehrten Weg zeigen muß?
Danke,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:04 Sa 10.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Forum,
> jetzt bin ich nach einem Rechnertausch auch dazu gekommen,
> die Antwort ein mal sauber zu formulieren und bitte euch,
> zu gucken, ob das jetzt so schlüssig ist:
>
>
> Annahme:
> [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n}[/mm] ist konvergent und
> konvergiert gegen b,
"didaktisch" wäre es besser, den Grenzwert anders zu benennen - was weiß
ich: Etwa [mm] $S_b\,.$ [/mm] Denn bei [mm] $b\,$ [/mm] denkt man gerne an [mm] $\lim b_n$ [/mm] (der wäre hier [mm] $=0\,.$)
[/mm]
> dann konvergiert [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } \frac{b_{n}\cdot 3d}{2}[/mm]
> gegen [mm]\frac{b\cdot 3d}{2}.[/mm]
Ja, Du musst aber auch nicht alles in Worten schreiben, sondern darfst
auch Symbole wie [mm] $\to$ [/mm] oder [mm] $\lim$ [/mm] benutzen!
> Sei [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } \frac{b_{n}\cdot 3d}{2}[/mm]
> der Majorant
Den Majoranten gibt es nicht - Du solltest "ein" schreiben! (Es sei den,
Du meinst einen "ausgezeichneten" Majoranten!)
> zu [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n},[/mm]
Das geht nicht!
> dann
> gilt:
>
> Nach Vorgabe ist für fast alle [mm]n:\lim \limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=d[/mm]
Das macht keinen Sinn: [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=d$ [/mm] hat "keine [mm] $n\,$-Abhängigkeit".
[/mm]
Entweder gilt diese Gleichheit, oder sie gilt nicht...
>
> [mm]\frac{d}{2}\leq \frac{a_{n}}{b_{n}}\leq \frac{3d}{2} \Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm]\frac{b_{n}\cdot d}{2}\leq a_{n}\leq \frac{b_{n}\cdot 3d}{2} \Leftrightarrow[/mm]
>
> Somit ist [mm]a_{n}\leq \frac{b_{n}\cdot 3d}{2},[/mm] wonach nach
> dem Majorantenkriterium auch [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm]
> konvergiert.
Die Logik hier ist anders, Du hast anscheinend auch noch nicht alles ganz
verstanden:
Wir setzen voraus, dass [mm] $\sum b_n$ [/mm] konvergiert.(Meinetwegen kannst Du auch
[mm] $S_b:=\sum b_n$ [/mm] definieren - ich erspare mir hier oft die Indizes, weil aus
dem Zshg. klar sein sollte, was ich jeweils meine!)
Wegen [mm] $\lim (a_n/b_n)=d [/mm] > 0$ existiert ein $N$ so, dass
[mm] $(\star)$ $a_n \le \frac{3}{2}d\;b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \red{\; \ge N}\,.$
[/mm]
Sei nun $M [mm] \ge N\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $\sum_{n=1}^M a_n=\sum_{n=1}^{N-1}a_n\;+\;\red{\sum_{k=N}^M a_k}\,.$
[/mm]
Nun kannst Du die rote Summe mit dem Wissen aus [mm] $(\star)$ [/mm] abschätzen - und
dann folgt für alle $M [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $\sum_{n=1}^M a_n \le \sum_{n=1}^{N-1}a_n\;+\frac{3}{2}d\cdot\;\blue{\sum_{k=N}^M b_k}\,.$
[/mm]
Eigentlich kann man damit schon die Behauptung folgern ($M [mm] \to \infty$ [/mm] streben
lassen) - denn eine (reelle) Reihe konvergiert genau dann, wenn ein (und
damit schon jedes) ihrer "Restglieder" konvergiert.
Du kannst aber auch einfach [mm] $\blue{\sum_{k=N}^M b_k} \le S_b$ [/mm] benutzen und beachten,
dass [mm] $\sum_{n=1}^{N-1}a_n$ [/mm] eine von [mm] $M\,$ [/mm] unabhängige Zahl ist.
>
> Frage: Ich hab jetzt gezeigt, das unter Annahme [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n}[/mm]
> konvergiert, auch [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm]
> konvergiert. Sehe ich das richtig, daß ich jetzt auch
> eigentlich noch den umgekehrten Weg zeigen muß?
Ja, das geht aber eigentlich vollkommen analog mit Freds Hinweis:
Kurz, bspw.: Es existiere [mm] $S_a=\sum a_n\,.$
[/mm]
Es gilt
[mm] $b_n \le \frac{2}{d}a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \red{\;\ge N}\,.$
[/mm]
Daher folgt für alle $M [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $\sum_{n=1}^M b_n \le \sum_{n=1}^{N-1} b_n \;+\;\frac{2}{d}\cdot S_a\,,$
[/mm]
wobei [mm] $S_a:=\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum a_n=\lim_{\ell \to \infty}\sum_{k=1}^\ell a_k\,.$
[/mm]
P.S. Ich habe das auch schonmal in einem
alten Thread (Klick!)
beschrieben - der Satz trägt übrigens den Namen "Grenzwertkriterium" (![[]](/images/popup.gif) Satz 33.6) in
Heuser, Analysis I.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Sa 10.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
es ist schon beeindruckend, wie viel Mühe du dir bei deinen Antworten gibst. Wenn ich das Forum nicht hätte... Vielen Dank dafür. Ich lade dich dann mal auf ein Bierchen ein 
- Ich schreibe so viel in Worte, weil ich mir teilweise bei der Verwendung von einigen Symbolen nicht sicher bin. Möchte das natürlich gerne üben und werde den Hinweis hier umsetzen.
- Verwendung deiner anderen Bezeichnung als b macht auch Sinn. [mm] S_b [/mm] scheint logisch.
- Hab auch eingesehen, daß die Bezeichnung "der Majorant" blöd formuliert ist. Wenn ich das richtig sehe, dann existieren unendlich viele.
- Beim nächsten Punkt bin ich mir nicht 100%ig sicher, ob ich dich richtig verstehe.
Ich versuche das mal so zu wiederholen, wie ich das verstehe:
Ab einem N>n gilt (wegen [mm] \lim \limits_{n\rightarrow \infty } \left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=d>0 [/mm] ) :
[mm] \frac{d}{2}\leq \frac{a_{n}}{b_{n}}\leq \frac{d\cdot 3}{2} [/mm] für alle n>N
[mm] b_{n}\frac{d}{2}\leq a_{n}\leq b_{n}\frac{3d}{2} [/mm] (*)
wenn ich das richtig sehe, dann darf ich jetzt nur den Teil der Reihe (als einen Majoranten zu [mm] b_n [/mm] ) betrachten, deren n>N ist. Deshalb spaltest du die Summe auf. Ja?
Was ich nicht verstehe, ist die anschließend von dir gemachte Abschätzung. Kann ich da nicht einfacher schreiben ??? :
[mm] \sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k}\leq \sum \limits_{n=N}^{\infty } b_{k}
[/mm]
Damit muß mit dem Majorantenkriterium auch [mm] \sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k} [/mm] konvergieren.
Da [mm] \sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{n} [/mm] als Restglied konvergiert, muß somit auch [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n} [/mm] konvergent sein.
Viele Grüße,
Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 10.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Sorry, ich meinte natürlich:
$ [mm] \sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k}\leq \frac{3}{2}d \sum \limits_{n=N}^{\infty } b_{k} [/mm] $
... und wollte das ganze als Frage einstellen.
Grüße, Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Sa 10.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Marcel,
> es ist schon beeindruckend, wie viel Mühe du dir bei
> deinen Antworten gibst. Wenn ich das Forum nicht hätte...
> Vielen Dank dafür. Ich lade dich dann mal auf ein Bierchen
> ein
gerne - aber ich nehm' 'ne Cola.
> - Ich schreibe so viel in Worte, weil ich mir teilweise
> bei der Verwendung von einigen Symbolen nicht sicher bin.
Ich find' das auch generell nicht schlimm - lieber viele Worte, als jemanden
mit Symbolen zu erschlagen. Aber es gibt so 'n "gesundes Mittelmaß" z.B.
schreibe ich selten, dass die Folge [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] gegen [mm] $x\,$ [/mm] streben möge, sondern
schreibe dann, dass für [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] halt [mm] $x_n \to [/mm] x$ (alternativ: [mm] $x_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}x$ [/mm] oder [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n=x$ [/mm] oder
einfach nur [mm] $x_n \to [/mm] x$ oder [mm] $\lim x_n=x$; [/mm] oder [mm] $x_n \to [/mm] x$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] oder oder oder...) gelten möge.
> Möchte das natürlich gerne üben und werde den Hinweis
> hier umsetzen.
>
> - Verwendung deiner anderen Bezeichnung als b macht auch
> Sinn. [mm]S_b[/mm] scheint logisch.
Ja - ich denke, dass das "didaktisch nicht verkehrt" ist. Man könnte auch [mm] ${\sum}^b$
[/mm]
definieren oder oder oder... Es ist ja auch nicht "falsch", einfach [mm] $b:=\sum_{n=1}^\infty b_n$
[/mm]
zu definieren (sofern die Reihe konvergiert) - aber irgendwann könnte es
dann auch passieren, dass Du Dich damit selbst verwirrst.
> - Hab auch eingesehen, daß die Bezeichnung "der Majorant"
> blöd formuliert ist. Wenn ich das richtig sehe, dann
> existieren unendlich viele.
Genau, Du kennst das auch im Prinzip: Wenn man eine obere Schranke [mm] $S\,$ [/mm]
für eine Folge hat, dann hat man auch schon unendlich viele: Jedes [mm] $S\,' \ge [/mm] S$ ist
dann auch eine obere Schranke!
>
> - Beim nächsten Punkt bin ich mir nicht 100%ig sicher, ob
> ich dich richtig verstehe.
> Ich versuche das mal so zu wiederholen, wie ich das
> verstehe:
>
> Ab einem [mm] $\red{\textbf{N>n}}$ [/mm] gilt (wegen [mm]\lim \limits_{n\rightarrow \infty } \left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=d>0[/mm] ) :
Der Satz ist logisch falsch aufgebaut. Ich hoffe, Du meinst das so:
Ab einem [mm] $N\,$ [/mm] gilt (d.h. für alle $n [mm] \red{\;>\;}N$ [/mm] - irgendwie hast Du da oben auch
das Ungleichheitszeichen falsch herum stehen bzw. [mm] $N\,$ [/mm] und [mm] $n\,$ [/mm] "seitenverkehrt")
> [mm]\frac{d}{2}\leq \frac{a_{n}}{b_{n}}\leq \frac{d \cdot 3}{2}[/mm] für alle n>N
Hier hast Du das [mm] $n\,$ [/mm] bzw. [mm] $N\,$ [/mm] jeweils auf der "richtigen Seite" stehen. (Ich
hatte übrigens $n [mm] \ge [/mm] N$ geschrieben, aber dass das unwesentlich ist, kannst
Du Dir ja mal selbst klarmachen.)
> [mm]b_{n}\frac{d}{2}\leq a_{n}\leq b_{n}\frac{3d}{2}[/mm] (*)
>
>
> wenn ich das richtig sehe, dann darf ich jetzt nur den Teil
> der Reihe (als einen Majoranten zu [mm]b_n[/mm] ) betrachten, deren
> n>N ist. Deshalb spaltest du die Summe auf. Ja?
So kann man das sagen - ich kann ja nur auf solche Summanden die
Abschätzung von oben anwenden, deren Index so groß ist (in Deiner
Version: Index muss $> [mm] N\,$ [/mm] sein), so dass die obigen Abschätzungen dafür
auch gelten!
Anderes Bsp.: Wenn ich weiß, dass
[mm] $y_n:={(1+\tfrac{1}{n})}^n \ge \frac{23}{10}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 3,$
so kann ich damit schlecht
[mm] $1+y_2=1+{(1+\tfrac{1}{2})}^2=\tfrac{13}{4} \ge \tfrac{33}{10}$
[/mm]
folgern. Denn wenn ich [mm] $y_n \ge \frac{23}{10}$ [/mm] für (alle) $n [mm] \ge [/mm] 3$ weiß, so sagt
das noch lange nicht aus, ob auch [mm] $y_2 \ge \frac{23}{10}$ [/mm] gilt (was auch falsch wäre:
[mm] $y_2={(1+\tfrac{1}{2})}^2=\frac{9}{4}=\frac{225}{100} [/mm] < [mm] \frac{230}{100}=\frac{23}{10}$)...
[/mm]
> Was ich nicht verstehe, ist die anschließend von dir
> gemachte Abschätzung. Kann ich da nicht einfacher
> schreiben ??? :
>
> [mm]\sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k}\leq \sum \limits_{n=N}^{\infty } b_{k}[/mm]
Wenn Du rechts noch den Faktor $d [mm] \cdot \frac{3}{2}$ $(\;>0\;)$ [/mm] ergänzt, dann (fast!) ja - es gibt
hier viele Möglichkeiten abzuschätzen. Allerdings musst Du bei Deinen Summen
den unteren Index bei [mm] $N+1\,$ [/mm] starten lassen, denn Du hast in (*) eine Abschätzung
der [mm] $a_k$ [/mm] für $k > [mm] N\,$ [/mm] (ich hatte $k [mm] \ge [/mm] N$ geschrieben!) hingeschrieben.
Ich habe es quasi alles ganz grob gemacht. Wir können uns auch o.E.
direkt darauf beschränken, nur ein (geeignetes) Restglied zu betrachten.
Und viele schreiben das, was Du auch schreibst, einfach so hin, und das
darf man auch. Aber eigentlich stecken da durchaus noch Vorüberlegungen
dahinter, die oftmals nur am Rande erwähnt und dann vergessen werden.
Ich schreibe Dir das mal ausführlich:
Vorausgesetzt werde die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum b_n\,.$ [/mm] Es gelte nun die
von Dir erwähnte Abschätzung. Um die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] einzusehen,
zeigen wir, dass die Reihe [mm] $\sum_{n=N+1}^\infty a_n \equiv \left(\sum_{k=N+1}^M a_k\right)_{M=\red{N}+1}^\infty$ [/mm] konvergiert:
Dazu sei $M [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $M [mm] \ge [/mm] N+1.$ Dann gilt
[mm] $\sum_{k=N+1}^M a_k \;\le\;d\cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^M b_k$
[/mm]
und wegen
[mm] $d\cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^M b_k \;\le\; d\cdot \frac{3}{2}\overbrace{\sum_{k=N+1}^\infty b_k}^{\lim\limits_{M \to \infty}\sum\limits_{k=N+1}^M b_k}$
[/mm]
(man beachte, dass die [mm] $b_k$ [/mm] alle [mm] $\ge [/mm] 0$ sind - insbesondere gilt also auch [mm] $b_k \ge [/mm] 0$ für
alle $k [mm] \ge [/mm] M+1$)
folgt
[mm] $\sum_{k=N+1}^M a_k \;\le\;d \cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^\infty b_k\,.$
[/mm]
(Man beachte: Aus der Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty b_k=\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)_{n=1}^\infty$ [/mm] folgt insbesondere die
Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{k=N+1}^\infty b_k \equiv \left(\sum_{k=N+1}^M b_k\right)_{M=N+1}^\infty$ [/mm] und daher die Existenz von [mm] $\sum_{k=N+1}^\infty b_k=\lim_{M \to \infty}\sum_{k=N+1}^M b_k\,.$)
[/mm]
Für jedes natürliche $M [mm] \ge [/mm] N+1$ gilt also
[mm] $\sum_{k=N+1}^M a_k \;\le\;d \cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^\infty b_k\,,$
[/mm]
und daher folgt die Existenz von [mm] $\sum_{k=N+1}^\infty a_k=\lim_{M \to \infty}\sum_{k=N+1}^M a_k$ [/mm] mit
[mm] $\sum_{k=N+1}^\infty a_k \;\le\;d \cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^\infty b_k\.$
[/mm]
> Damit muß mit dem Majorantenkriterium auch [mm]\sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k}[/mm] konvergieren.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und das war schon richtig - die obigen Überlegungen fasst man, weil man
diese eben im Beweis des Majo.-Kr. "mitverpackt" hat, kurz einfach so zusammen,
wie Du es notiert hattest:
Mit
[mm] $\sum_{k=N+1}^\infty a_k \;\le\;d \cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^\infty b_k$
[/mm]
folgt wegen des Majo.-Kr., dass das Restglied [mm] $\sum_{k=N+1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert (sprachlich
kann man nun gucken, wie man sich da genauer ausdrückt - erinnere Dich,
dass eine Reihe ja erstmal per Definitionem nur die Folge ihrer Partialsummen
ist und im Falle der Konvergenz benutzt man das gleiche Reihensymbol auch
für den Grenzwert der Reihe: siehe Seite 49).
Im Sinne des Vergleichs von Folgengliedern der Partialsummen kann man
übrigens auch Ungleichungen wie
[mm] $\sum_{k=N+1}^\infty a_k \;\le\;d \cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^\infty b_k$
[/mm]
auffassen. Die Überlegungen wären dann ähnlich.
> Da [mm]\sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{n}[/mm] als Restglied
> konvergiert, muß somit auch [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm]
> konvergent sein.
Wie gesagt, das geht prinzipiell - kurz und knapp - genau so, wie Du es
meintest, solange Du den Faktor [mm] $d\cdot 3/2\,$ [/mm] nicht unterschlägst und den Index
anpasst.
Nur bei diesem 'kurz und knapp': Man schreibt schnell mal solche
Ungleichungen wie
[mm] $\sum_{k=N+1}^\infty a_k \;\le\;d \cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^\infty b_k$
[/mm]
hin - und vielen ist gar nicht klar, welche "Zusatzüberlegungen" in dieser
Symbolik mit drinstecken (bzw. viele sagen, dass das trivial ist und es
keiner weiteren Erklärung bedarf - und meist zeigt mir gerade das, wenn
jemand das so "abtut", dass er es auch nicht gar nicht weiter detailliert
erklären könnte; sondern es einfach nur "intuitiv" benutzt, so, wie er es
in anderen Situationen gelernt hat...).
Und wenn jemand bei der Ungleichung
[mm] $\sum_{k=N+1}^\infty a_k \;\le\;d \cdot \frac{3}{2}\sum_{k=N+1}^\infty b_k$
[/mm]
sagt, dass er diese hinschreibt, weil halt der Grenzwert der Reihe [mm] $\left(\sum_{k=N+1}^M a_k\right)_{M=\red{N}}^\infty$
[/mm]
kleiner oder gleich dem Grenzwert der Reihe [mm] $\left(\frac{3}{2}d\cdot\sum_{k=N+1}^M b_k\right)_{M=\red{N}+1}^\infty$ [/mm] ist (wegen der
genannten Abschätzung), so frage ich direkt nach:
"Wieso kannst Du denn vom Grenzwert der Reihe [mm] $\left(\sum_{k=N+1}^M a_k\right)_{M=\red{N}+1}^\infty$ [/mm] überhaupt sprechen?"
Wenn er mir dann sagt:
"Naja, diese Reihe ist als Folge ihrer Partialsummen monoton wachsend (die
Summanden hier sind ja alle [mm] $\ge [/mm] 0$), und [mm] $\frac{3}{2}d\cdot\sum_{k=N+1}^\infty b_k$ [/mm] ist eine obere Schranke für
[mm] $\left(\sum_{k=N+1}^M a_k\right)_{M=\red{N}}^\infty,$ [/mm] weil halt gilt: ..."
Dann kann ich sagen: Der hat wirklich alles verstanden (insbesondere auch
den Beweis des Majorantenkriteriums) und könnte mir das alles auch
(noch) detaillierter erklären!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Sa 10.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
natürlich meine ich: ab einem N gilt für alle [mm] n\geq [/mm] N ...
Das war ein Tippfehler und den Faktor [mm] d\cdot \frac{3}{2} [/mm] hab ich noch versucht zu korrigieren, aber da war ich zu langsam. Da konnte ich meinen Beitrag nicht mehr ändern.
Interessant sind die Vorüberlegungen, die zum Ergebnis führen. Ich muß zugeben, daß ich auch (bis jetzt) einfach nicht so weit gedacht habe. Ich stehe halt einfach nach am Anfang meines Studiums.
Dabei kommen dann so viele Dinge zusammen ... Macht aber Spaß !!!
Ich würde gerne noch mal die Aufgabe sauber zusammen schreiben (ich nehme dann aber die "kurze Form"). Brauche halt noch lange, um die Formeln zu erzeugen.
Würdest du dann noch mal drüber gucken?
Danke,
Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Sa 10.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> natürlich meine ich: ab einem N gilt für alle [mm]n\geq[/mm] N
okay. Aber man schreibt das wirklich eher so:
"Ab einem [mm] $N\,$ [/mm] gilt [mm] $a_n \;\le\; [/mm] ...$"
Das ist nämlich einfach die Kurzfassung für
"Es existiert ein [mm] $N\,$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt: [mm] $a_n \;\le\; [/mm] ...$"
Und wie gesagt: Achte einfach ein bisschen auf die Indizes. Das ist nicht
wesentlich für den Beweis, hält ihn aber "sauber". Wenn Du halt bspw. [mm] $r_n \;\le\; 1/n^2$ [/mm]
erst für $n [mm] \;>\; [/mm] 5$ weißt, dann stimmt die Abschätzung
[mm] $\sum_{k=1}^\infty r_k \;\le\; \sum_{k=1}^\infty 1/n^2$
[/mm]
i.a. einfach nicht. Auch nicht
[mm] $\sum_{k=5}^\infty r_k \;\le\; \sum_{k=5}^\infty 1/n^2\,,$
[/mm]
aber es wäre richtig:
[mm] $\sum_{k=\red{6}}^\infty r_k \;\le\; \sum_{k=\red{6}}^\infty 1/n^2\,.$
[/mm]
Obwohl
[mm] $\sum_{k=1}^\infty r_k \;\le\; \sum_{k=1}^\infty 1/n^2$
[/mm]
"eigentlich" total falsch sein könnte, würde man im Beweis der Konvergenz
von [mm] $\sum_{k=1}^\infty r_k$ [/mm] (seien die [mm] $r_k$ [/mm] auch alle [mm] $\ge [/mm] 0$) dem keine besondere Beachtung
schenken, sondern vielleicht gerade gewisse Indizes "korrigieren".
Den Grund habe ich genannt: Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn
eines (und damit schon jedes) ihrer Restglieder (=Restgliederreihe) konvergiert.
Das ist übrigens auch in der Aussage "Das KONVERGENZVERHALTEN einer Reihe
hängt nicht von endlich vielen Summanden ab" enthalten.
(Man beachte aber, dass, wenn eine Reihe konvergiert, der Grenzwert der
Reihe sich natürlich entsprechend verändert, wenn man "endlich viele Summanden
entfernt".)
> ...
>
> Das war ein Tippfehler und den Faktor [mm]d\cdot \frac{3}{2}[/mm]
> hab ich noch versucht zu korrigieren, aber da war ich zu
> langsam. Da konnte ich meinen Beitrag nicht mehr ändern.
Solltest Du aber können?
> Interessant sind die Vorüberlegungen, die zum Ergebnis
> führen. Ich muß zugeben, daß ich auch (bis jetzt)
> einfach nicht so weit gedacht habe. Ich stehe halt einfach
> nach am Anfang meines Studiums.
Das macht nichts - oft wird sowas auch "etwas verschwiegen". D.h. manche
Dozenten erwähnen es, aber so beiläufig, dass es direkt wieder vergessen
wird...
> Dabei kommen dann so viele Dinge zusammen ... Macht aber
> Spaß !!!
>
> Ich würde gerne noch mal die Aufgabe sauber zusammen
> schreiben (ich nehme dann aber die "kurze Form"). Brauche
> halt noch lange, um die Formeln zu erzeugen.
Das hast Du doch schon fast. Das sind im Wesentlichen 3 Zeilen, eventuell
kann man sie zu 5 ausbauen.
> Würdest du dann noch mal drüber gucken?
Warum nicht? Ich werde aber jetzt erstmal off gehen, schaue aber gerne
später nochmal drüber. Sollte ich's vergessen, schreibe mir kurz 'ne PN.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 10.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
So, ich versuche jetzt noch ein mal die Aufgabe so zu lösen, daß ich keine "groben" Fehler im Lösungsweg habe.
Da nach Vorgabe gilt: [mm] \lim \limits_{n\rightarrow \infty } \left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=d>0 [/mm]
existiert ein N, ab diesem gilt für alle [mm] n\geq [/mm] N :
[mm] d=\frac{a_{n}}{b_n} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{2}d\leq \frac{a_{n}}{b_{n}}\leq \frac{1}{2}d \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{1}{2}d\cdot b_{n}\leq a_{n}\leq \frac{3}{2}d\cdot b_{n}
[/mm]
Unter Annahme, das [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n} [/mm] konvergiert, ist:
[mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n} [/mm] = [mm] \sum \limits_{n=1}^{N-1} b_{n}+\sum \limits_{k=N}^{\infty } b_{k} [/mm] , dann stellt [mm] \sum \limits_{k=N}^{\infty } b_{k} [/mm] das konvergente Restglied der Reihe dar.
Aus [mm] a_{n}\leq \frac{3}{2}d\cdot b_{n} \qquad \Rightarrow \qquad \sum \limits_{k=N}^{\infty }a_k \leq \frac{3}{2}d\cdot \sum \limits_{k=N}^{\infty } b_k \qquad [/mm]
Mit dem Majorantenkriterium folgt die Konvergenz von [mm] \sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k} [/mm] und damit auch von [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}.
[/mm]
Somit folgt aus der Konvergenz von [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n} [/mm] die Konvergenz von [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}.
[/mm]
Unter Annahme, das [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n} [/mm] konvergiert, ist:
[mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n} [/mm] = [mm] \sum \limits_{n=1}^{N-1} a_{n}+\sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k} [/mm] , dann stellt [mm] \sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k} [/mm] das konvergente Restglied dar.
Aus [mm] \frac{1}{2}d\cdot b_{n}\leq a_{n} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{2}d\cdot \sum \limits_{k=N}^{\infty } b_{k}\leq \sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k}, [/mm] wonach nach dem Majorantenkriterium [mm] \sum \limits_{k=N}^{\infty } b_{k} [/mm] und damit auch [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_k [/mm] konvergent ist.
Damit konvergiert [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_k [/mm] genau dann, wenn [mm] \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_k [/mm] konvergiert.
Puh... wie macht ihr das nur so schnell mit den Formeln
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Sa 10.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> So, ich versuche jetzt noch ein mal die Aufgabe so zu
> lösen, daß ich keine "groben" Fehler im Lösungsweg
> habe.
>
>
> Da nach Vorgabe gilt: [mm]\lim \limits_{n\rightarrow \infty } \left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=d>0[/mm]
> existiert ein N, ab diesem gilt für alle [mm]n\geq[/mm] N :
>
>
> [mm]\red{d=\frac{a_{n}}{b_n} [/mm]
Das rotmarkierte ist Unsinn und das kannst Du einfach streichen - ebenso
wie den nächsten Folgerungspfeil.
> [mm]\qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{2}d\leq \frac{a_{n}}{b_{n}}\leq \frac{\red{1}}{2}d \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{1}{2}d\cdot b_{n}\leq a_{n}\leq \frac{3}{2}d\cdot b_{n}[/mm]
Die rote 1 ist sicher eine 3. Und hier musst Du halt immer im Hinterkopf
behalten, wenn Du das so notierst, dass $n [mm] \ge [/mm] N$ sein soll - wobei diese
Äquivalenz oben ja für alle $n$ richtig wäre, da alle [mm] $b_n [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Und ich ergänze,
dass Du $n [mm] \ge [/mm] N$ haben willst, weil Du dann bei
[mm] $\frac{1}{2}d\leq \frac{a_{n}}{b_{n}}\leq \frac{\red{3}}{2}d \qquad \iff \qquad \frac{1}{2}d\cdot b_{n}\leq a_{n}\leq \frac{3}{2}d\cdot b_{n}$
[/mm]
weißt, dass die Ungleichungskette [mm] $\frac{1}{2}d\leq \frac{a_{n}}{b_{n}}\leq \frac{\red{3}}{2}d [/mm] $ wahr ist (und damit gilt auch die
rechte Ungleichungskette für solche [mm] $n\,$).
[/mm]
(Beispiel: Die Folgerung [mm] $-2=0\Rightarrow [/mm] 3=4$ ist wahr. (Aussage $A:$ [mm] $-2=0\,.$ [/mm] Aussage $B$:
[mm] $3=4\,.$ [/mm] Und die Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ bedeutet nur, dass [mm] $(\neg A)\vee [/mm] B$ gelten muss.
Da wegen $-2 [mm] \not=0$ [/mm] die Aussage [mm] $A\,$ [/mm] falsch ist, ist [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B$ wahr und daher
ist $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ eine wahre Aussage! Wäre aber $-2=0$ wahr, so wäre, wenn wir dann auch
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ beweisen könnten, zwangsläufig damit auch [mm] $B\,$ [/mm] wahr. Siehe auch hier (klick!).)
>
>
> Unter Annahme, das [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n}[/mm]
> konvergiert, ist:
>
> [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n}[/mm] = [mm]\sum \limits_{n=1}^{N-1} b_{n}+\sum \limits_{k=N}^{\infty } b_{k}[/mm]
Genau - das ist in dieser Notation aber eine Grenzwertgleichheit!
> , dann stellt [mm]\sum \limits_{k=N}^{\infty } b_{k}[/mm] das konvergente Restglied der Reihe dar.
Wenn Du "das Restglied" schreibst, meinst Du das wirklich bzgl. der obigen
Gleichheit. Ansonsten könnte man auch "ein Restglied" schreiben.
> Aus [mm]a_{n}\leq \frac{3}{2}d\cdot b_{n}[/mm]
Hier muss man sich daran erinnern, dass das "für alle $n [mm] \ge [/mm] N$" gilt.
> [mm]\qquad \Rightarrow \qquad \sum \limits_{k=N}^{\infty }a_k \leq \frac{3}{2}d\cdot \sum \limits_{k=N}^{\infty } b_k \qquad[/mm]
> Mit dem Majorantenkriterium folgt die Konvergenz von [mm]\sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k}[/mm]
> und damit auch von [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}.[/mm]
>
> Somit folgt aus der Konvergenz von [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } b_{n}[/mm]
> die Konvergenz von [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}.[/mm]
> Unter Annahme, das [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm]
> konvergiert, ist:
> [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty } a_{n}[/mm] = [mm]\sum \limits_{n=1}^{N-1} a_{n}+\sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k}[/mm]
> , dann stellt [mm]\sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k}[/mm] das
> konvergente Restglied dar.
>
> Aus [mm]\frac{1}{2}d\cdot b_{n}\leq a_{n} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{2}d\cdot \sum \limits_{k=N}^{\infty } b_{k}\leq \sum \limits_{k=N}^{\infty } a_{k},[/mm]
> wonach nach dem Majorantenkriterium [mm]\sum \limits_{k=N}^{\infty } b_{k}[/mm]
> und damit auch [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_k[/mm] konvergent
> ist.
>
>
>
>
> Damit konvergiert [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_k[/mm] genau
> dann, wenn [mm]\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_k[/mm] konvergiert.
>
>
>
> Puh... wie macht ihr das nur so schnell mit den Formeln
>
Übung in Latex.
P.S. Ich schreibe Dir - allerdings nur den ersten - Beweisteil mal so, wie Du
es hier getan hast, hin, wobei ich es so mache, wie ich es schreiben würde.
Das kommt gleich in einer Mitteilung. Nur, damit Du die kleinen Unterschiede
siehst, die ich "betone".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Sa 10.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
also, wie gesagt, schreibe ich den ersten Beweisteil mal so, wie ich in
notieren würde:
Gegeben sei alles so, wie in der Aufgabe vorausgesetzt.
Vorbemerkung:
Wegen [mm] $\lim (a_n/b_n)=d [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N\,$ [/mm] so, dass
(*) [mm] $\frac{d}{2} \;\le\; a_n/b_n\;\le\;\frac{3}{2}d$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
gilt.
(Hinweis: Man wähle [mm] $\epsilon:=d/2 [/mm] > 0$ und verwende die Definition der Kgz.!)
1.) Wir zeigen: Aus der Kgz. der Reihe [mm] $\sum b_n$ [/mm] folgt die Kgz. der Reihe [mm] $\sum a_n\,.$
[/mm]
Da nach Annahme [mm] $\sum b_n$ [/mm] konvergiert, gilt (die "Grenzwertgleichheit")
[mm] $\sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^{N-1}b_n+\sum_{k=N}^\infty b_k\,.$
[/mm]
(Bemerkung: "Grenzwertgleichheit", weil die obige Gleichung im Sinne von
[mm] $\lim_{p \to \infty}\sum_{n=1}^p b_n=\sum_{n=1}^{N-1}b_n+\lim_{q \to \infty}\sum_{k=N}^q b_k$
[/mm]
zu verstehen ist!)
Das Restglied ("= die Restglied-Reihe") [mm] $\sum_{k=N}^\infty b_k$ [/mm] ist also eine konvergente Reihe.
Gemäß (*) gilt (man beachte dabei, dass sogar alle [mm] $b_\ell [/mm] > 0$ sind)
[mm] $\blue{\forall n \ge N:}$ $a_n \;\le\; \frac{3}{2}d*b_n$
[/mm]
und wegen
[mm] $\blue{\forall n \ge N:}$ $a_n \le \frac{3}{2}d*b_n$ $\Rightarrow$ $\sum_{k=\blue{N}}^\infty a_k \;\le\;\frac{3}{2}d*\sum_{k=\blue{N}}^\infty b_k$
[/mm]
gilt daher auch [mm] $\sum_{k=\blue{N}}^\infty a_k \;\le\;\frac{3}{2}d\sum_{k=\blue{N}}^\infty b_k$.
[/mm]
Mit dem Majorantenkriterium folgt daher die Konvergenz der (Restglied-)Reihe
[mm] $\sum_{k=\blue{N}}^\infty a_k$ [/mm] und damit auch die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum a_n\,.$
[/mm]
Den "zweiten Teil" (Kgz. von [mm] $\sum a_n$ [/mm] liefert die Kgz. von [mm] $\sum b_n$) [/mm] würde ich
dann vollkommen analog hinschreiben.
Es gibt "kleine, feine Unterschiede" zu dem, was Du geschrieben hast. Ich
hebe damit nur manches deutlicher hervor (z.B. das [mm] $\blue{\forall n \ge N}$ [/mm] -
und auch, dass ich an einer Stelle sowas mache: Dass [mm] $A\,$ [/mm] gilt, folgt aus
gegebenen Voraussetzungen. Da $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ wahr ist und [mm] $A\,$ [/mm] nach Voraussetzung wahr ist,
ist auch [mm] $B\,$ [/mm] wahr - d.h. [mm] $B\,$ [/mm] gilt).
Aber bis auf die eine rotmarkierte Gleichheit, die keinen Sinn machte, war
das von Dir geschrieben schon i.W. okay.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 So 11.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
ich hab die Feinheiten gelesen und ich hoffe, daß ich das bei der nächsten Aufgabe das so hin bekomme.
Eine Sache verstehe ich dabei aber nicht. Warum war es (ausgenommen der Notation) so falsch, zu schreiben, daß:
[mm] \forall n\geq [/mm] N : [mm] \frac{a_n}{b_n}=d \qquad \Rightarrow [/mm] ...
Ich sag jetzt mal ganz solopp, wenn ich n unendlich groß mache, dann ist [mm] \frac{a_n}{b_n} [/mm] nur ein [mm] \epsilon [/mm] von d entfernt. (Sorry für die unmathematische Ausdrucksweise)
... und Danke für deine Mühe!
Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 So 11.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Sorry, wollte die letzte Mitteilung als Frage einstellen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:19 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> ich hab die Feinheiten gelesen und ich hoffe, daß ich das
> bei der nächsten Aufgabe das so hin bekomme.
>
>
> Eine Sache verstehe ich dabei aber nicht. Warum war es
> (ausgenommen der Notation) so falsch, zu schreiben, daß:
>
> [mm]\forall n\geq[/mm] N : [mm]\frac{a_n}{b_n}=d[/mm]
na, das ist weder die Definition der Konvergenz noch folgt es daraus.
Betrachte bspw. mal [mm] $x_n:=1/n\,.$ [/mm] Hier gilt [mm] $x_n=1/n \to [/mm] 0,$ aber es gibt kein [mm] $N\,$
[/mm]
so, dass $1/n=0$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ - für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist doch $1/n [mm] \not=0\,.$
[/mm]
(Das Zuletztgesagte kannst Du sicher leicht beweisen!)
> ...
>
>
> Ich sag jetzt mal ganz solopp, wenn ich n unendlich groß
> mache, dann ist [mm]\frac{a_n}{b_n}[/mm] nur ein [mm]\epsilon[/mm] von d
> entfernt. (Sorry für die unmathematische Ausdrucksweise)
Das ist unmathematisch, aber faktisch schonmal wesentlich besser. Genauer:
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig (klein), so gibt es per Definitionem ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$ [/mm] so, dass
(*) [mm] $\left|\frac{a_n}{b_n}-d\right| \le \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
(Manchmal steht da auch "$< [mm] \epsilon$" [/mm] - aber die Definitionen sind äquivalent!)
Soweit okay?
Nun kann man leicht beweisen, dass für $x,r [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gilt
[mm] $|x-r|\;\le\; \epsilon$ $\iff$ $r-\epsilon \;\le\; [/mm] x [mm] \;\le\; r+\epsilon\,.$
[/mm]
Daher folgt aus (*):
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass
(**) [mm] $d-\epsilon \;\le\; \frac{a_n}{b_n} \;\le\; d+\epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_\epsilon\,.$
[/mm]
Jetzt beachte, dass nach Voraussetzung der Aufgabe $d/2 [mm] \;>\;0$ [/mm] ist - also kannst
Du (**) insbesondere mal für [mm] $\epsilon:=d/2$ [/mm] (das ist dann ja auch eine Zahl [mm] $>0\,$) [/mm] betrachten.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:50 So 11.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Natürlich!
Die Folgenglieder liegen natürlich nur in der Umgebung zum Grenzwert. Das Gleichheitszeichen lässt diese Abweichungen nicht zu.
Wohl aber die gemachte Abschätzung.
Vielen Dank,
Micha
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Hallo mbra771,
>Da aber auch gilt $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{b_n}=d [/mm] $ , muß bei Annahme $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty } a_n=a [/mm] $ auch gelten:
>$ [mm] \frac{a}{\limes_{n\rightarrow\infty} b_n}=d \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} b_n=\frac{a}{d} [/mm] $
Es geht nicht um die Konvergenz der Folgen, sondern der Reihen, ich glaub du verwechselst da was [mm] ($\lim a_n\neq \sum a_n$).
[/mm]
Es ist nachzurechnen, dass [mm] $\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=N}^{\infty}b_n= [/mm] 0$. wenn das selbe für [mm] $a_n$ [/mm] gilt. Der Trick hierbei ist die Folge [mm] $b_n/a_n$ [/mm] irgendwie in den letzten ausdruck reinzuschummeln und die Konvergenz dieser Folge zu nützen.
Lg nathor
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