Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:39 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
| Aufgabe | Sei [mm] a_n [/mm] > 0 fur alle n [mm] \in [/mm] N. Zeigen Sie:
[mm] \summe_{n>0}^{}\bruch{a_n}{1+ a_n} [/mm] konvergiert [mm] \gdw \summe_{n>0}^{} a_n [/mm] konvergiert |
Hab nun folgendes bisher überlegt:
"<="
Sei [mm] \summe_{n>0}^{} a_n [/mm] konvergent
dann ist [mm] a_n [/mm] Nullfolge
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 0
Daraus folgt, dass der Zähler von [mm] \bruch{a_n}{1+ a_n} [/mm] auch gegen 0 konvergiert und somit auch der ganze Term.
Ist das so in Ordnung? Beim letzten Schritt weiß ich nicht ob das so ok ist.
"=>"
Sei [mm] \summe_{n>0}^{}\bruch{a_n}{1+ a_n} [/mm] konvergent
dann ist [mm] \bruch{a_n}{1+ a_n} [/mm] eine Nullfolge
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n}{1+ a_n} [/mm] = 0
Kann ich nun hier wieder darauf schließen, dass auch der Limes von [mm] a_n [/mm] 0 ist? Weil dann hätte ich es ja.
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Hallo Amiaz,
nein, das genügt beides nicht.
> Sei [mm]a_n[/mm] > 0 fur alle n [mm]\in[/mm] N. Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{n>0}^{}\bruch{a_n}{1+ a_n}[/mm] konvergiert [mm]\gdw \summe_{n>0}^{} a_n[/mm]
> konvergiert
> Hab nun folgendes bisher überlegt:
> "<="
> Sei [mm]\summe_{n>0}^{} a_n[/mm] konvergent
> dann ist [mm]a_n[/mm] Nullfolge
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = 0
> Daraus folgt, dass der Zähler von [mm]\bruch{a_n}{1+ a_n}[/mm]
> auch gegen 0 konvergiert und somit auch der ganze Term.
> Ist das so in Ordnung? Beim letzten Schritt weiß ich
> nicht ob das so ok ist.
Das ist zwar ok, aber damit hast Du nur nachgewiesen, dass [mm] \bruch{a_n}{1+a_n} [/mm] auch eine Nullfolge ist. Das ist das sog. Trivialkriterium für die Konvergenz einer Reihe. Es darf nicht verletzt sein, aber wenn es (wie hier) erfüllt ist, ist damit die Konvergenz der Reihe selbst noch nicht erwiesen (einfachstes Gegenbeispiel: harmonische Reihe).
> "=>"
> Sei [mm]\summe_{n>0}^{}\bruch{a_n}{1+ a_n}[/mm] konvergent
> dann ist [mm]\bruch{a_n}{1+ a_n}[/mm] eine Nullfolge
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n}{1+ a_n}[/mm] = 0
>
> Kann ich nun hier wieder darauf schließen, dass auch der
> Limes von [mm]a_n[/mm] 0 ist? Weil dann hätte ich es ja.
Das kannst Du schließen, denn [mm] \bruch{a_n}{1+a_n}=1-\bruch{1}{1+a_n}. [/mm] Von hier aus geht das schnell.
Es gilt aber auch hier das schon oben Gesagte: über die Konvergenz der Reihe ist damit noch nichts gesagt, außer dass sie immerhin möglich ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
> > Kann ich nun hier wieder darauf schließen, dass auch der
> > Limes von [mm]a_n[/mm] 0 ist? Weil dann hätte ich es ja.
>
> Das kannst Du schließen, denn
> [mm]\bruch{a_n}{1+a_n}=1-\bruch{1}{1+a_n}.[/mm] Von hier aus geht
> das schnell.
> Es gilt aber auch hier das schon oben Gesagte: über die
> Konvergenz der Reihe ist damit noch nichts gesagt, außer
> dass sie immerhin möglich ist.
>
> Grüße
> reverend
>
Kannst du das vielleicht genauer erläutern. Kann das irgendwie nicht nachvollziehen. Saß nun auch noch länger an der Aufgabe und bin irgendwie nicht voran gekommen.
Liebe Grüße Amiaz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > > Kann ich nun hier wieder darauf schließen, dass auch der
> > > Limes von [mm]a_n[/mm] 0 ist? Weil dann hätte ich es ja.
> >
> > Das kannst Du schließen, denn
> > [mm]\bruch{a_n}{1+a_n}=1-\bruch{1}{1+a_n}.[/mm] Von hier aus geht
> > das schnell.
> > Es gilt aber auch hier das schon oben Gesagte: über
> die
> > Konvergenz der Reihe ist damit noch nichts gesagt, außer
> > dass sie immerhin möglich ist.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
>
> Kannst du das vielleicht genauer erläutern. Kann das
> irgendwie nicht nachvollziehen. Saß nun auch noch länger
> an der Aufgabe und bin irgendwie nicht voran gekommen.
aus [mm] $a_n \to [/mm] 0$ kannst Du nicht folgern, dass [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert. Du kannst nur sagen: Wenn [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert, dann muss [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gelten, oder (Kontraposition): Wenn NICHT [mm] $a_n \to 0\,,$ [/mm] dann divergiert [mm] $\sum a_n\,.$
[/mm]
Würdest Du aus [mm] $a_n \to [/mm] 0$ nämlich die Konvergenz von [mm] $\sum a_n$ [/mm] folgern können, dann müßte, weil $1/n [mm] \to [/mm] 0$ gilt, auch die bereits als divergent erkannte Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty [/mm] (1/n)$$
konvergieren.
Nun zur Aufgabe:
Es gibt einen einfachen Satz (Heuser, Analysis I, 14. Auflage, S. 204, Satz 33.6, "Grenzwertkriterium"):
Falls die Reihen [mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n$ [/mm] positive Glieder (also $> [mm] 0\,$) [/mm] haben und wenn dann [mm] $a_n/b_n$ [/mm] gegen einen Wert [mm] $\gamma [/mm] > 0$ konvergiert, dann haben die Reihen das gleiche Konvergenzverhalten (d.h. die Konvergenz von [mm] $\sum a_n$ [/mm] zieht die von [mm] $\sum b_n$ [/mm] nach sich, und die Divergenz von [mm] $\sum a_n$ [/mm] die von [mm] $\sum b_n\,.$ [/mm] Mit anderen Worten wegen Kontraposition: Die Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn es [mm] $\sum b_n$ [/mm] tut.)
Schau' Dir den Beweis des Satzes an, falls Du an das Buch kommst. Der ist generell sehr interessant, und eigentlich nicht sehr schwer. Aber vielleicht dauert's eine Weile, bis man ihn wirklich verstanden hat - aber diese kleine Mühe ist's wirklich Wert (ähnliche Überlegungen kann man später gebrauchen, wenn man schnell erkennen will, ob etwa [mm] $\sum \frac{3n^7+5n^2-n}{n^{13}+5n^3+3}$ [/mm] konvergiert etc... - die Überlegungen sind eigentlich analog)!!
Aber: Ich werde Dir erstmal den Beweis nicht vorführen.
Was ich machen werde: Ich zeige Dir schnell, dass mit dem Satz unmittelbar die Behauptung folgt:
Denn:
Die eine Reihe heißt eh [mm] $\sum a_n$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Die andere Reihe ist ja
[mm] $\sum b_n$ [/mm] mit
[mm] $$b_n:=\frac{a_n}{1+a_n}\,.$$
[/mm]
Daher folgt
[mm] $$(\star)\;\;\;\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_n}{\frac{a_n}{1+a_n}}=1+a_n\,.$$
[/mm]
Nun gibt es zwei Fälle:
1. Fall: Es kann sein, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nicht konvergiert. Dann kann keine der beiden Reihen [mm] $\sum a_n$ [/mm] bzw. [mm] $\sum (a_n/(1+a_n))$ [/mm] konvergieren. Warum?
(Hier gibt es zwei Sachen zu beachten:
a) Divergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beinhaltet insbesondere, dass auch [mm] $a_n \not\to 0\,.$
[/mm]
b) Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (alle [mm] $a_n [/mm] > 0$) divergiert, dann auch [mm] $(b_n)_n$ [/mm] mit [mm] $b_n:=a_n/(1+a_n)\,.$ [/mm] Denn: Angenommen, [mm] $(b_n)_n$ [/mm] konvergiere gegen $b [mm] \ge 0\,.$...)
[/mm]
2. Fall: [mm] $(a_n)_n$ [/mm] sei konvergent. Wegen [mm] $a_n [/mm] > 0$ muss dann [mm] $a:=\lim a_n$ [/mm] auch [mm] $\ge [/mm] 0$ sein, also $a [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgt dann
[mm] $$\frac{a_n}{b_n}=1+a_n \to 1+a=:\gamma \ge [/mm] 1 [mm] >0\,.$$
[/mm]
Was folgt nun mit dem von mir zitierten Satz?
P.S.:
Es geht auch eine alternative Fallunterscheidung:
1. Fall: Es kann sein, dass [mm] $a_n \not\to 0\,.$ [/mm] (D.h. hier wegen [mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\,:$
[/mm]
entweder divergiert [mm] $(a_n)_n$ [/mm] oder [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen ein $a > [mm] 0\,.$)
[/mm]
2. Fall: Es kann sein, dass [mm] $a_n \to 0\,.$
[/mm]
Innerhalb der Fälle steht aber das gleiche (also "insgesamt") - eigentlich sind nur die Fälle "anders aufgeteilt".
Aber:
Die alternative Vorgehensweise hat einen kleinen Vorteil: Denn wenn [mm] $a_n \not\to 0\,,$ [/mm] was weißt Du dann direkt über [mm] $\sum a_n$?
[/mm]
Und was kannst Du über [mm] $a_n/(1+a_n)$ [/mm] sagen, wenn [mm] $a_n \not\to [/mm] 0$?
P.P.S.: Bei allen Überlegungen hier IMMER im Hinterkopf behalten, dass man voraussetzt, dass ALLE [mm] $a_n [/mm] > 0$ sind!!
Gruß,
Marcel
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Hallo Amiaz!
Für die Rückrichtung (also [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ) kannst Du den Bruch gegen [mm] $a_n$ [/mm] abschätzen, so dass hieraus die Konvergenz folgt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Mi 11.01.2012 | | Autor: | reverend |
Meep meep, Roadrunner!
> Für die Rückrichtung (also [mm]\Leftarrow[/mm] ) kannst Du den
> Bruch gegen [mm]a_n[/mm] abschätzen, so dass hieraus die Konvergenz
> folgt.
Wissen wir denn, ob [mm] a_n>0 [/mm] gilt?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo reverend!
> Wissen wir denn, ob [mm]a_n>0[/mm] gilt?
Ja. 
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 13.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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