Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] a_1=2
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = 1/2 ( [mm] a_n [/mm] + [mm] 5/a_n)
[/mm]
de nierte Folge ebenfalls gegen [mm] \wurzel{5} [/mm] konvergiert |
wenn [mm] a_n-> [/mm] a
lim [mm] a_n [/mm] = lim [mm] a_{n+1}
[/mm]
n -> [mm] \infty
[/mm]
[mm] a=\wurzel{5}
[/mm]
Konvergenz:
Monotonie
Beschränktheit
Vermutung: beschränkt 2 < [mm] a_n [/mm] < [mm] \wurzel{5}
[/mm]
bei der ausführung happerts.
Soll ich die Beschränktheit durch vollständige Induktion beweisen?
Monotonie [mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] - 1/2 [mm] (a_n+ 5/a_n)
[/mm]
[mm] a_n [/mm] - 1/2 [mm] a_n [/mm] + [mm] 5/2a_n
[/mm]
-1/2 [mm] a_n [/mm] + [mm] 5/2a_n
[/mm]
[mm] -2a^2 /4a_n [/mm] + [mm] 10/4a_n
[/mm]
[mm] \frac{-2a^2+10}{4a_n}
[/mm]
Wie gehts weiter='?
[mm] a_n \ge \wurzel{5} [/mm] ab n>2
[mm] a_{n+1} \ge \wurzel{5} [/mm] ab n>1
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]a_1=2[/mm]
> [mm]a_{n+1}[/mm] = 1/2 ( [mm]a_n[/mm] + [mm]5/a_n)[/mm]
> de nierte Folge ebenfalls gegen [mm]\wurzel{5}[/mm] konvergiert
>
> wenn [mm]a_n->[/mm] a
> lim [mm]a_n[/mm] = lim [mm]a_{n+1}[/mm]
> n -> [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]a=\wurzel{5}[/mm]
Das darfst du für dich machen, aber eigentlich erst benutzen, wenn du die monotonie und beschränktheit hast.
> Konvergenz:
> Monotonie
> Beschränktheit
>
> Vermutung: beschränkt 2 < [mm]a_n[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
> bei der ausführung happerts.
> Soll ich die Beschränktheit durch vollständige Induktion
> beweisen?
das ist gut , ja
> Monotonie [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm]
> [mm]a_n[/mm] - 1/2 [mm](a_n+ 5/a_n)[/mm]
> [mm]a_n[/mm] - 1/2 [mm]a_n[/mm] + [mm]5/2a_n[/mm]
> -1/2 [mm]a_n[/mm] + [mm]5/2a_n[/mm]
falsch ! richtig:
1/2 [mm]a_n[/mm] - [mm]5/2a_n[/mm]
> [mm]-2a^2 /4a_n[/mm] + [mm]10/4a_n[/mm]
wie kommst du dahin ? HN ist [mm] 2a_n
[/mm]
> [mm]\frac{-2a^2+10}{4a_n}[/mm]
>
> Wie gehts weiter
du musst die schranke von [mm] a_n [/mm] benutzen, deshalb brauchst du die vorher!
> [mm]a_n \ge \wurzel{5}[/mm] ab n>2
> [mm]a_{n+1} \ge \wurzel{5}[/mm] ab n>1
das musst du zeigen. a) [mm] a_2 [/mm] ausrechnen, dann Induktion
und es widerspricht dem was du oben geschrieben hast:
>2 < [mm]a_n[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Schranken brauch ich vorher, da komme ich aber leider nicht weiter:
2 [mm] \le a_n [/mm] < [mm] \wurzel{5}
[/mm]
n=1 [mm] a_1=2 [/mm] stimmts
Annahme: 2 [mm] \le a_n [/mm] < [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Zu zeigen: 2 [mm] \le a_{n+1}< \wurzel{5}
[/mm]
Induktionsschritt:
2 <= [mm] \frac{a_n}{2} +\frac{5}{(2a_n} [/mm] < [mm] \wurzel{5}
[/mm]
2 <= [mm] \frac{(a_n^2 +5}{(2a_n} [/mm] < [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] \fedoffWie [/mm] verwende ich die I-Annahme ?
Gedanken:
[mm] \frac{a_n^2 +5}{2a_n} [/mm] < [mm] \wurzel{5}
[/mm]
abschätzen
[mm] \frac{a_n^2}{2a_n} [/mm] < [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] \frac{a_n}{2} [/mm] < [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] ist sicher kleiner als [mm] \wurzel{5} [/mm] so auch die Division durch 2
In die andere Richtung?
2 [mm] \le \frac{(a_n^2 +5}{(2a_n}
[/mm]
Annhame [mm] a_n [/mm] ist zwischen 2 und wurzel 5 also positiv
4 [mm] a_n \le a_n^2 [/mm] +5
abschätzen
[mm] a_n \le a_n^2 [/mm] +5
Annahme hernehmen
2 [mm] \le a_n \le a_n^2 [/mm] +5
Ich glaub das darf ich nicht..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Sa 19.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Kann das wer überprüfen? Odre irre ich mich in der induktion ganz'?
noch wer da?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Sa 19.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Niemand eine ahnung`?
LG
Es müsste nur wer kontrollieren (->letzte post)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Sa 19.11.2011 | | Autor: | skoopa |
> Schranken brauch ich vorher, da komme ich aber leider nicht
> weiter:
>
> 2 [mm]\le a_n[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> n=1 [mm]a_1=2[/mm] stimmts
>
> Annahme: 2 [mm]\le a_n[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
> Zu zeigen: 2 [mm]\le a_{n+1}< \wurzel{5}[/mm]
>
> Induktionsschritt:
> 2 <= [mm]\frac{a_n}{2} +\frac{5}{(2a_n}[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
> 2 <= [mm]\frac{(a_n^2 +5}{(2a_n}[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
> [mm]\fedoffWie[/mm] verwende ich die I-Annahme ?
>
>
> Gedanken:
> [mm]\frac{a_n^2 +5}{2a_n}[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
> abschätzen
Hier schätzt du den Bruch von dem du ausgehst [mm]\frac{a_n^2 +5}{2a_n}[/mm] nach unten ab. Du musst ihn aber nach oben abschätzen, wenn du zeigen willst dass er kleiner [mm] \wurzel{5} [/mm] ist.
Meine Idee wäre einfach die Indultionsvorraussetzung einzusetzen. Mit dieser gilt ja, da [mm] a_{n}<\wurzel{5} [/mm] ist für ein [mm] $\epsilon>0:$ $a_{n}=\wurzel{5}-\epsilon$.
[/mm]
Wenn du das einsetzt müsstest du auf die Ungleichung kommen.
> [mm]\frac{a_n^2}{2a_n}[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
> [mm]\frac{a_n}{2}[/mm] < [mm]\wurzel{5}[/mm]
> [mm]a_n[/mm] ist sicher kleiner als [mm]\wurzel{5}[/mm] so auch die Division
> durch 2
>
> In die andere Richtung?
> 2 [mm]\le \frac{(a_n^2 +5}{(2a_n}[/mm]
> Annhame [mm]a_n[/mm] ist zwischen 2
> und wurzel 5 also positiv
> 4 [mm]a_n \le a_n^2[/mm] +5
> abschätzen
> [mm]a_n \le a_n^2[/mm] +5
Hier liegt wieder der Hase im Pfeffer
Du schätzt wieder in die falsch Richtung ab, denn [mm] a_{n}<4a_{n}, [/mm] also schätzt du die linke Seite nach unten ab, müsstest sie aber nach oben abschätzen.
(Wir wissen ja, dass [mm] 2\leq a_{n}<\wurzel{5} [/mm] gilt. Setze mal [mm] a_{n}=2 [/mm] in deine Ungleichungen ein, dann merkst du, dass die Abschätzung in die falsche Richtung ging.)
Hier kannst du einfach deine Induktions-Vorraussetzung einbringen, indem du sagst, [mm] a_{n}\leq 2+\epsilon [/mm] mit [mm] \epsilon\geq0
[/mm]
> Annahme hernehmen
> 2 [mm]\le a_n \le a_n^2[/mm] +5
> Ich glaub das darf ich nicht..
Ich hoffe das stimmt und klappt so.
Beste Grüße!
skoopa
|
|
|
| |
|
> $ [mm] \epsilon>0: [/mm] $ $ [mm] a_{n}=\wurzel{5}-\epsilon [/mm] $.
Mit der schreibweise komme ich nicht klar;(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 19.11.2011 | | Autor: | skoopa |
> > [mm]\epsilon>0:[/mm] [mm]a_{n}=\wurzel{5}-\epsilon [/mm].
> Mit der schreibweise komme ich nicht klar;(
Naja, also du weißt ja, dass [mm] 2\leq a_{n}<\wurzel{5} [/mm] gilt. Das ist ja gerade deine Induktions-Vorraussetzung.
Das bedeutet aber auch, dass du ein [mm] \epsilon [/mm] wählen kannst, das größer Null ist, sodass [mm] a_{n}+\epsilon=\wurzel{5} [/mm] ist.
Jetzt bringst du das [mm] \epsilon [/mm] auf die andere Seite, dann steht da eben die Beziehung von oben.
Ist das verständlich so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich les erst jetzt wieder. Hast du meine erste antwort nicht gelesen?
Dort hatte ich gesagt, dass du [mm] a_n\ge\wurzel{5} [/mm] zeigen musst, ab [mm] a_2
[/mm]
Du solltest IMMER die ersten paar -mindestens 3- glieder einer folge berechnen, bevor du eine vermutung aussprichst!
[mm] a_2>\wurzel{5}!
[/mm]
mit der Induktionsannahme zeige jetzt, dass aus [mm] a_n>\wurzel{5} [/mm] folgt, [mm] a_{n+1}>\wurzel{5} [/mm] bzw [mm] a_{n+1}^2>5
[/mm]
Gruss leduart
dann musst du noch zeigen, dass die foöge ab [mm] n\ge2 [/mm] monoton fallend ist, d.h. [mm] a_n-a_{n+1}>0
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ich folge skoopa´s hinweis mal
Annahme:
[mm] a_n= \wurzel{5}- \varepsilon
[/mm]
[mm] \frac{(a_n^2 +5}{(2a_n} [/mm] < [mm] \wurzel{5} [/mm]
[mm] \frac{((\wurzel{5}-\varepsilon)^2 +5}{(2(\wurzel{5}- \varepsilon)} [/mm] <
[mm] \frac{( 10-2*\wurzel{5}+\varepsilon^2}{2\wurzel{5}- 2\varepsilon} [/mm] < [mm] \wurzel{5} [/mm]
Kann ich alles mit [mm] \varepsilon [/mm] weglassen? Da es ja beliebig klein wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 22.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob du beweisen willst [mm] a_n<\wurzel{5}
[/mm]
oder [mm] a_n=\wurzel{5}-\epsilon [/mm] ist egal.
in einem fall ne gelichung, im anderen ne ungleichung.
rechne wirklich mal [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] aus und sieh nach, ob sie [mm] <\wurzel{5} [/mm] sind
aber du kannst auch weiterhin den vergeblichen versuch fortführen, und alle meine posts ignorieren.
viel Spass
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich bin einfach den Hinweis von skoopa nachgegangen und frage nun ob das stimmt und ob man die [mm] \varepsilon [/mm] weglassen darf! Du ignorierst dann eher mein vorherigen Post!
[mm] a_1 [/mm] = 2
[mm] a_2= [/mm] 2,25
[mm] a_3= [/mm] 2,236111
[mm] a_4= [/mm] 2,236067978
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Di 22.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
skopa hat dir darauf geantwortet, wie man vorgehen kann, WENN man zeigen will, dass [mm] a_n<\wurzel{5}
[/mm]
ich habe darauf geantwortet.
hast du nun überprüft ob deine berechneten Werte < oder > [mm] \wurzel{5} [/mm] sind.
Ich hatte vor mir endlos scheinenden zeiten gesagt, dass du
[mm] a_n<\wurzel{5} [/mm] nicht zeigen kannst.
Schon in deinem ersten post hast DU geschrieben du willst zeigen [mm] a_n>\wurzel{5} [/mm] seither hab ich das mehrfach gesagt. lies doch den thread nochmal durch!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ich will beweisen dass aus [mm] a_n<\wurzel{5} [/mm] folgt, [mm] a_{n+1}< \wurzel{5} [/mm] folgt
Annahme:
$ [mm] a_n= \wurzel{5}- \varepsilon [/mm] $
$ [mm] \frac{(a_n^2 +5}{(2a_n} [/mm] $ < $ [mm] \wurzel{5} [/mm] $
$ [mm] \frac{((\wurzel{5}-\varepsilon)^2 +5}{(2(\wurzel{5}- \varepsilon)} [/mm] $ <
$ [mm] \frac{( 10-2\cdot{}\wurzel{5}+\varepsilon^2}{2\wurzel{5}- 2\varepsilon} [/mm] $ < $ [mm] \wurzel{5} [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist die Frage?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
was meinst du?
ob da stimmt so und ob ich nun nach oben abschätzen kann
< (10 + [mm] \varepsilon^2) [/mm] /( - 2 [mm] \varepsilon)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sicher nicht, links steht eine pos Zahl, die sicher nicht kleiner einer negativen ist. die du mit (10 + $ [mm] \varepsilon^2) [/mm] $ /( - 2 $ [mm] \varepsilon) [/mm] $ erzeugt hast
Bitte lies die anderen posts von mir, bevor du weiter diesen sinnlosen versuch machst: für ALLE [mm] a_n [/mm] n>1 gilt die ungleichung die du versuchst zu beweisen nicht!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
v5 beitrag stimmt also nicht?
dann ab den [mm] a_2 [/mm] gilt die Induktion?
Hab ich aber trotzdem die selbe Induktionsannahme und Induktionsschritt!
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
das ist kein Chat hier.
> v5 beitrag stimmt also nicht?
> dann ab den [mm]a_2[/mm] gilt die Induktion?
> Hab ich aber trotzdem die selbe Induktionsannahme und
> Induktionsschritt!
Damit kann ich nichts anfangen, ohne wahrscheinlich die ganze Diskussion zu lesen. Das funktioniert also nur in einer Einzelberatung.
Wenn Du die suchst, dann nimm Dir Nachhilfe. Wenn Du Hilfe in einem Forum wie diesem suchst, musst Du Dir selbst mehr Mühe geben. Wir werden Dich nicht bis zum Ziel tragen, sondern nur ab und zu den Weg weisen.
Also tu mehr zwischendurch, bevor Du Deine nächste Frage stellst. Überleg, was Dir Antwort sagen will, und fang selbst an zu arbeiten. Und wenn Du dann nicht weiter kommst, stell eine vernünftige Frage, die jeder beantworten kann, der sie liest - und nicht nur die ein, zwei Leute, die Dir z.T. schon über Tage bei einer Aufgabe helfen. Es wird sonst niemand anderen geben als nur diese.
Das ist keine Reaktion nur auf diese Aufgabe; ich habe fast alle Deiner Anfragen in letzter Zeit komplett gelesen. So kommst Du hier nicht weiter. Es macht Dir keinen Spaß und uns auch nicht.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 25.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
