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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Di 01.06.2010
Autor: dannyf86

Aufgabe
Überprüfe die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm]

Unser Professor hat uns die Lösung dieser Aufgabe gegeben, jedoch verstehe ich die einzelnen Schritte nicht.

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} \le \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*n^{n-2}}{n^{n}} \le [/mm] 2 [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm]

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] ist eine Majorante, die konvergiert, deswegen konvergiert auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}. [/mm]
Dies verstehe ich. Jedoch verstehe ich den schritt [mm] \le \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*n^{n-2}}{n^{n}} \le [/mm] 2 [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] nicht. wie kommt man darauf. gibt es vllt noch ein paar Zwischenschritte, die dies verdeutlichen?

Danke für eure Antwort.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Di 01.06.2010
Autor: angela.h.b.


> Überprüfe die Konvergenz der Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}[/mm]

Hallo,

[willkommenmr].

> [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm]

[mm] =\bruch{1!}{1^{1}} [/mm] + [mm] \bruch{2!}{2^{2}} [/mm] + [mm] \summe_{n=3}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}} [/mm]

= [mm] \bruch{3}{2}+ \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm]

[mm] =\bruch{3}{2}+ \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{1*2*3*4*...*(n-1)*n}{n^{n}} [/mm]

[mm] =\bruch{3}{2}+ \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*3*4*...*(n-1)*n}{n^{n}} [/mm]

[mm] \le \bruch{3}{2}+ \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*n*n*...*n*n}{n^{n}} [/mm]

>= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] +  [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{2*n^{n-2}}{n^{n}} [/mm]

>  [mm] \le [/mm] 2  [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}[/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
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