Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Di 03.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | Zeige, dass die Folge konvergent ist:
[mm] a_{n}=\frac{2n}{n+1} [/mm] |
Mein Beweis:
sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Gesucht [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}-a|\le \varepsilon
[/mm]
[mm] a=\frac{2n}{n+1}=\frac{2n}{n}=2
[/mm]
[mm] |a_{n}-a|=|\frac{2n}{n+1} [/mm] - [mm] 2|=|\frac{2n-2(n+1)}{n+1}|=|\frac {2n-2n-2)}{n+1}|=|-2/n|\le \varepsilon
[/mm]
[mm] 2/n\le \varepsilon, [/mm] zB wenn n> [mm] [2/\varepsilon]+1
[/mm]
wähle [mm] n_{0}=[2/\varepsilon [/mm] ]+1
dann gilt [mm] |a_{n}-a|=|\frac{2n}{n+1} [/mm] - [mm] 2|=|2/n|\le \varepsilon
[/mm]
ist das richtig???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass die Folge konvergent ist:
>
> [mm]a_{n}=\frac{2n}{n+1}[/mm]
> Mein Beweis:
>
> sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Gesucht [mm]n_{0} \in \IN[/mm] mit [mm]|a_{n}-a|\le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]a=\frac{2n}{n+1}=\frac{2n}{n}=2[/mm]
????? Du willst also zeigen, dass 2 der GW von [mm] (a_n) [/mm] ist .
>
> [mm]|a_{n}-a|=|\frac{2n}{n+1}[/mm] -
> [mm]2|=|\frac{2n-2(n+1)}{n+1}|=|\frac {2n-2n-2)}{n+1}|=|-2/n|\le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]2/n\le \varepsilon,[/mm] zB wenn n> [mm][2/\varepsilon]+1[/mm]
>
> wähle [mm]n_{0}=[2/\varepsilon[/mm] ]+1
> dann gilt [mm]|a_{n}-a|=|\frac{2n}{n+1}[/mm] - [mm]2|=|2/n|\le \varepsilon[/mm]
für jedes n mit n [mm] \ge n_0
[/mm]
>
> ist das richtig???
Ja, bis auf meine beiden Bemerkungen
FRED
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