Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 05.06.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Man zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert und den Wert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=1+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{9}+....=\bruch{\pi^2}{6} [/mm] besitzt. Benützen Sie dieses Ergebnis, um die folgenden Summen zu berechnen.
a)Summieren Sie nur die geraden Terme, d.h. berechnen Sie [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n^2}=\bruch{1}{4}+\bruch{1}{1}+\bruch{1}{36}+... [/mm] (Hinweis:Zusammenhang zwischen 1 und 2)
b)Summieren Sie nur die ungeraden Terme, d.h. berechnen Sie [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1^2}=1+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{25}+... [/mm] Hinweis: Wie hängt diese Summe mit den obigen zwei zusammen?
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Hallo liebes Matheforum!
Zu der Summe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] =1+ [mm] \bruch{1}{4}+\bruch{1}{9}+....=\bruch{\pi^2}{6} [/mm] habe ich die Konvergenz so gezeigt!
Majoranten-Kriterium!
Ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}ak [/mm] eine konvergente Reihe und |bk| [mm] \le [/mm] ak, so ist auch die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}bk [/mm] konvergent mit [mm] |\summe_{k=1}^{\infty}bk| \le \summe_{k=1}^{\infty}ak
[/mm]
Bsp. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm]
Es gilt [mm] \bruch{1}{k^2} \le \bruch{1}{k(k-1)}= \bruch{1}{k-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k}=ak [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 2
Nun ist [mm] \summe_{k=2}^{\infty}ak=\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k}) \limes_{n \to \infty} ((1-\bruch{1}{2}) +(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4})+....+(\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n})) =\limes_{n \to \infty}(\bruch{1}{n-1})=1
[/mm]
konvergent. Auch [mm] \rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergent. Somit auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{k^n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 (da [mm] \bruch{1}{k^n} \le \bruch{1}{k^2})
[/mm]
Kann man so die Konvergenz beweisen? (Es ist nicht für a oder b sondern lediglich für den ersten Aufgabenteil)
Vielen Dank
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Hiho,
mit dieser Idee geht das, ja.
Bis auf Kleinigkeiten, dass du mal [mm] \infty [/mm] statt n geschrieben hast oder [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] statt 1 - [mm] \bruch{1}{n}..... [/mm] wenn du es sauber aufschreibst, passt es 
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mo 08.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Hallo!
Wie komme ich denn jetzt auf die Summen?
Muss ich für die erste Summe [mm] \bruch {\pi^2}{12} [/mm] rechnen oder wie muss ich vorgehen??
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Di 09.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Da scheinen mir so einige Klammern in Deiner Aufgabenstellung zu fehlen.
Ich denke mal, dass es heißen soll:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\red{(}2n\red{)}^2} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}$$
[/mm]
Hier kannst Du nun das Ergebnis aus Teilaufgabe a.) verwenden.
Bei Teilaufgabe c.) fehlen auch Klammern ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Di 09.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Hallo!
Beim Aufgabenteil b komme ich wieder nicht weiter.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2n-1)^2} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^2+4n+1} [/mm] und wie geht es jetzt weiter?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Di 09.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo idonnow!
Du hast die Reihe [mm] $\summe \bruch{1}{n^2}$ [/mm] einmal für alle Glieder und einmal für die geraden Glieder ermittelt.
Wie kann man hier aus nun die Summe für die ungeraden Glieder ermitteln?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Di 09.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Ähm indem ich die gerade Folgeglieder ausschließe????
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> Ähm indem ich die gerade Folgeglieder ausschließe????
Hallo,
was meinst Du denn mit "ausschließe"?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Di 09.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Ich berechne die Summe ohne die geraden Folgenglieder;aber ich wüsste nicht, wie das aussehen soll!
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> Ich berechne die Summe ohne die geraden Folgenglieder;aber
> ich wüsste nicht, wie das aussehen soll!
Ja mei!
Du hast doch bereits die Summe aller Folgenglieder und die Summe aller geraden Folgenglieder.
Um mal in einem Gleichnis zu sprechen: wenn ich einen Korb mit Birnen und Äpfeln habe, und mir einen Korb mit Birnen wünsche, dann kann ich das erreichen, indem ich die Äpfel herausnehme. Wegnehme. Minus.
Gruß v. Angela
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