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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit
f(x) = [mm] sin(\bruch{\pi}{x}) [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 und
f(x) = 0 für x=0
Zeige: [mm] f(x_n) \to [/mm] 0 für [mm] x_n=\bruch{1}{n}, \bruch{-1}{n}, \bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
Ist f stetig in 0?
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Hallo, hab eine paar Probleme bei dieser Aufgabe, wäre nett wenn da mal jemand drüberschauen könnte:
[mm] f(\bruch{1}{n})=sin(\bruch{\pi}{\bruch{1}{n}})=sin(n\pi) [/mm] Also [mm] sin(n*\pi) [/mm] ist 0, aber wie verhält es sich, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht?
Für [mm] f(\bruch{-1}{n}) [/mm] ist es ja im Prinzip genauso, nur dass [mm] -sin(n\pi) [/mm] rauskommt.
Und [mm] f(\bruch{(-1)^n}{n}) [/mm] ist doch eine Kombination der beiden ersten, aber auch hier wüsste ich nicht, wie ich die Konvergenz zeige (obwohl es mir anschaulich klar ist).
Die Stetigkeit macht mir die meisten Probleme, hier bräuchte ich am besten einen kleinen Ansatz von euch.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Do 07.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit
> f(x) = [mm]sin(\bruch{\pi}{x})[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0 und
> f(x) = 0 für x=0
>
> Zeige: [mm]f(x_n) \to[/mm] 0 für [mm]x_n=\bruch{1}{n}, \bruch{-1}{n}, \bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
>
> Ist f stetig in 0?
>
> Hallo, hab eine paar Probleme bei dieser Aufgabe, wäre nett
> wenn da mal jemand drüberschauen könnte:
>
> [mm]f(\bruch{1}{n})=sin(\bruch{\pi}{\bruch{1}{n}})=sin(n\pi)[/mm]
> Also [mm]sin(n*\pi)[/mm] ist 0, aber wie verhält es sich, wenn n
> gegen [mm]\infty[/mm] geht?
Du hast doch gerade selbst geschrieben, dass [mm] \sin{n\pi} [/mm] Null ergibt - egal, wie groß n ist (Hauptsache natürlich oder ganz).
>
> Für [mm]f(\bruch{-1}{n})[/mm] ist es ja im Prinzip genauso, nur dass
> [mm]-sin(n\pi)[/mm] rauskommt.
> Und [mm]f(\bruch{(-1)^n}{n})[/mm] ist doch eine Kombination der
> beiden ersten, aber auch hier wüsste ich nicht, wie ich die
> Konvergenz zeige (obwohl es mir anschaulich klar ist).
Zerlege in zwei Teilfolgen (positive und negative) - beide gehen gegen Null und damit auch die Gesamtfolge.
>
> Die Stetigkeit macht mir die meisten Probleme, hier
> bräuchte ich am besten einen kleinen Ansatz von euch.
Nicht für jede Folge [mm] x_n [/mm] konvergiert die zugehörige Folge der Funktionswerte gegen Null - nimm z.B.
[mm] x_n=\bruch{2}{2n+1}
[/mm]
>
> mfg
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Hallo..bin auch in der Vorlesung...heisst das weil man eine Folge gefunden hat die nicht gegen Null läuft, dass die Funktion in 0 nicht stetig ist ?
Prinzipiell : Also muss ich bei der Stetigkeit gucken dass egal welche Folgen ich einsetze immer der gleiche Grenzwert herauskommt, sonst ist die Fkt. in diesem Punkt nicht stetig ? (aber wenn das so ist: gibt es da nen Kochrezept wie man solche versch. Folgen findet?)
Grüße
Charlie
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Hallo Charlie!
Du hast die Vorgehensweise richtig erkannt. Bei Stetigkeit müssen alle entsprechenden Folgen zum selben Grenzwert (nämlich den Funktionswert) führen.
Wie man darauf kommt: dazu gehört etwas Erfahrung und auch Experimentierfreudigkeit (sprich: etwas probieren).
Gruß vom
Roadrunner
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