Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo Leute!
Ich muss bei den folgenden Reihen die KOnvergenz nachweisen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k^{k}}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{k}}{k!}x^{k}
[/mm]
Ich weiß nicht auf welche Reihen ich diese zurückführen kann, damit ich die Konvergenz zeigen kann. Die Reihen konvergieren ja auch nur für bestimmte x.
Wie soll ich die KOnvergenz zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Sorry hab die Folge noch oben aufs summenzeichen geschrieben , sollen natürlich hinter das Summenzeichen
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> Hallo Leute!
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> Ich muss bei den folgenden Reihen die KOnvergenz
> nachweisen:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty^}\bruch{x^{k}}{k^{k}}[/mm]
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty^}\bruch{k^{k}}{k!}x^{k}[/mm]
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> Ich weiß nicht auf welche Reihen ich diese zurückführen
> kann, damit ich die Konvergenz zeigen kann. Die Reihen
> konvergieren ja auch nur für bestimmte x.
>
> Wie soll ich die KOnvergenz zeigen?
Hallo
für die erste Potenzreihe kannst du das Kriterium von Cauchy-Hadamard nehmen (berechne - falls existiert - [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{|a_k|}=r)
[/mm]
Dann ist die Reihe konvergent für [mm] |x|
bei der zweiten kannste das "Quotientenkriterium" nehmen (berechne - falls existiert - [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right|=r)
[/mm]
Dann ist die Reihe konvergent für |x|<R mit [mm] R=\bruch{1}{r}
[/mm]
(Man definiert hierbei [mm] \bruch{1}{0}:=\infty [/mm] und [mm] \bruch{1}{\infty}:=0)
[/mm]
Versuch's mal. Wenn du nicht klarkommen solltest, frag einfach noch mal an ;)
Gruß und viel Erfolg
schachuzipus
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