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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Sa 02.12.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Man betrachte die rekursiv definierte Folge
[mm] x_1:=1, x_{n+1}:=\wurzel{2+x_n} [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Man zeige, dass [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert, und bestimme den Grenzwert.
Hinweis: Monotoniekriterium! |
Hallo!
Zur Aufgabe ist mir klar, dass es sich um eine monoton wachsende beschränkte Folge handelt, die aufgrund dieser Eigenschaft konvergiert.
Durch einsetzen sehr großer Werte für n sieht man, dass die Folge gegen zwei konvergiert.
Weiter ist mir klar, der Grenzwert [mm] 2=\wurzel{4} [/mm] nie erreicht wird.
Unklar ist mir, wie man mathematisch richtig aufschreibt, dass unter der Wurzel nicht 4 stehen kann.
Vielleicht hat jemand dazu eine Idee?
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo xsara!
Die Beziehung [mm] $x_n [/mm] \ < \ 2$ lässt sich schnell mittels vollständiger Induktion nachweisen.
Gruß
Loddar
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