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Konvergenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:36 Di 09.12.2003
Autor: lisa22

Halo, vielleicht koennt ihr mir weiterhelfen...Ich habe in meiner Uebungsgruppe folgende Aufgabe und komme einfach nicht drauf.

Es ist gegeben:
F index n : C-->C : [mm] z^5 [/mm] + 1/n*z - 1/n , z aus C, n aus N

a index n aus C sei Nullstelle.

Beweise, a index n ist beschraenkt.

Beweis, a index n ist konvergent und gib den Grenzwert an.

Ueber eine Antwort würde ich mich voll freuen.
Ciao, LiSa

        
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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Di 09.12.2003
Autor: Stefan

Liebe Lisa,

willkommen im Matheraum! :-)

Kennst du den Satz von Rouché?

Du solltest uns mal ein bisschen was über den Hintergrund der Aufgabe erzählen, sonst wissen wir ja gar nicht, was wir voraussetzen können.

Viele Grüße
Stefan


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Di 09.12.2003
Autor: lisa22

Hi Stefan!
Das tut mir wirklich Leid, dass ich dir diese Aufgabe einfach nur so ohne große Erklärung "hingeworfen" habe. Sorry. Also: Dder Satz von Rouché sagt mir gar nichts, und ich bin mir sicher, dass wir diesen Satz noch nie erwaehnt haben. Wenn du mir vielleicht sagen könntest, was er besagt, könnte ich es dir mit Sicherheit sagen, da unsere Sätze bis z.B. Archimedes oder Bolzano-Weierstraß keine Namen haben, weiß ich es nicht genau.
Im Moment machen wir Folgen und Reihen, haben dazu, einige Grenzwertsätze gehabt, dazu, halt B-W, Cauchy-Folgen, konvergente Folgen, jetzt auch konvergente Reihen, etc. Einer meiner Kommolitonen meinte, dass sollte man am ehesten mit einer Abschätzung machen, wie gesagt, ich habe da noch nicht so den Durchblick...wenn du noch irgendwelche Rückfragen hast, schrieb mir einfach. Wäre super, wenn du eine Idee hättest.
LG LiSa

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:10 Mi 10.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Lisa,

okay, dann werden wir die Aufgabe jetzt mal ganz elementar lösen, ohne große Sätze aufzufahren und mit Kanonen auf Spatzen zu schießen. ;-)

Also:

Nach Voraussetzung gilft für alle [mm]n \in \IN[/mm] :

[mm]F(a_n) = a_n^5 + \frac{1}{n}\, a_n - \frac{1}{n} = 0[/mm],

also:

(*) [mm]a_n^5 = - \frac{1}{n}\, a_n + \frac{1}{n}[/mm].

Nun nehmen wir auf beiden Seiten von Gleichung  (*) den Betrag:

(**) [mm] |a_n|^5 = \frac{1}{n} |1-a_n|[/mm].

Nehmen wir einmal an, die Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] wäre unbeschränkt. Dann gäbe es ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit [mm]n_0 \ge 2[/mm] und

[mm] |a_{n_0}| > 1[/mm].

Daraus folgte:

[mm] \frac{1}{n_0} ( 1 + |a_{n_0}|) \ge \frac{1}{n_0}\, |1-a_{n_0}| \stackrel{(\*\*)}{=} |a_{n_0}|^5 > |a_{n_0}|[/mm],

also:

(***) [mm]\frac{1}{n_0} > \frac{n_0-1}{n_0}\, |a_{n_0}|[/mm]

und damit (beachte [mm]n_0 \ge 2[/mm]):

[mm]\frac{1}{n_0} |a_{n_0}| \le \frac{n_0-1}{n_0}\, |a_{n_0}| \stackrel{(\*\*\*)}{<} \frac{1}{n_0}[/mm],

was wegen [mm] |a_{n_0}| > 1[/mm] einen Widerspruch darstellt.

Somit ist die Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] beschränkt.

Da das Produkt einer beschränkten und einer konvergenten Folge konvergent ist, ist die Folge

[mm] \left(-\frac{1}{n}\, a_n\right)_{n \in \IN}[/mm]

konvergent. Es gilt:

(****) [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \Bigl(\!\!\!\!\!\!\!\!\!\underbrace{-\frac{1}{n}}_{\to \, 0 \ (n \to \infty)} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{a_n}_{\mbox{\scriptsize beschränkt}} \!\!\!\!\!\!\!\!\Bigr) = 0[/mm].

Aus (*) folgt, dass die Folge  [mm](a_n^5)_{n \in \IN}[/mm] als Summe zweier konvergenter Folgen wieder konvergent ist.

Es gilt:

[mm]\lim\limits_{n \to \infty} a_n^5 = \lim\limits_{n \to \infty} \left( - \frac{1}{n}\, a_n \right) + \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \stackrel{(\*\*\*\*)}{=} 0[/mm]

und folglich auch:

[mm]\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0[/mm].

So, alles klar? :-)

Liebe Grüße
Stefan


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 Mi 10.12.2003
Autor: lisa22

Hi Stefan!
Ich weiss gar nich, was ich sagen soll. Ich bin echt vom Hocker. So eine gute, ausfuehrliche und sogar fuer mich absolut einleuchtende Lösung habe ich bisher noch in keinem meiner Bücher und schon gar nicht in der Vorlesung an der Tafel :-) gesehen. Also ganz ganz grossen Dank an dich. Ich werd jetzt wenn ich mal nicht mehr durchblicke jetzt oefter euren (deinen) Rat suchen, wenns dir mal zuviel wird nur sagen!!!
Ganz liebe Grüße,
LiSa

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:50 Do 11.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Lisa,

für irgendetwas muss es ja gut gewesen sein, dass ich jetzt schon seit sieben Jahren an der Uni Lehre mache. :-)

Fragen kannst du, soviel du willst, gerne sogar. Mein Problem ist: Da ich auch einen "normalen" Job habe (als wissenschaftlicher Mitarbeiter an einem Forschungsinstitut), kann ich natürlich nicht ständig hier präsent sein, sondern versuche außerhalb meiner Arbeitszeit (die sich leider im Moment auf ca. 12 Stunden pro Tag erstreckt) zu antworten. Aber ich würde mir eh wünschen, jedenfalls ist das meine Idealvorstellung, dass ihr euch eh mehr gegenseitig helft und dass wir Tutoren nur dann eingreifen, wenn es nicht mehr voran geht. Aber natürlich macht es mir in erster Linie sehr viel Spaß zu erklären :-). Wenn ich es mal nicht sofort tue, ist es nur ein Zeitproblem (oder aber mir ist die Lösung selber nicht klar ;-)).

Wir freuen uns auf weitere Fragen von dir.

Liebe Grüße
Stefan


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