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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Fr 17.09.2021
Autor: olmas

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie beweise ich, dass für 0<q<1 die Folge [mm] n*q^n [/mm] gegen 0 konvergiert?

        
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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Fr 17.09.2021
Autor: statler

Hallo!

> Wie beweise ich, dass für 0<q<1 die Folge [mm]n*q^n[/mm] gegen 0
> konvergiert?

Betrachte [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = (1 + [mm] \frac{1}{n})q$. [/mm]

Dann ist [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = q < 1$.

Das heißt, daß du die gegebene Folge durch eine geometrische Folge, die den Grenzwert 0 hat, abschätzen kannst.

Die zugehörige Epsilontik kriegst du vielleicht selbst hin.

Gruß Dieter

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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Mo 20.09.2021
Autor: olmas

Herzlichen Dank

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Konvergenz: L'Hôpital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Fr 17.09.2021
Autor: HJKweseleit

Hatte im Eifer p und q vertauscht. Jetzt verbessert:

Setze p=1/q > 1 Dann ist nach L'Hôpital mit ln(p)>0:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*q^n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{p^n}=(L'H., [/mm] Zähler und Nenner gehen beide nach [mm] \infty) \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{p^n*ln(p)}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{q^n}{ln(p)}=0 [/mm]

(Dass [mm] p^n [/mm] nach [mm] \infty [/mm] geht und damit [mm] q^n [/mm] nach 0, kannst du leicht mit der Bernoulli-Ungleichung mit [mm] p=1+\epsilon [/mm] (mit   [mm] \epsilon [/mm] > 0) beweisen.)

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Fr 17.09.2021
Autor: Gonozal_IX

Die Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] nq^n$ [/mm] lässt sich rekursiv darstellen als [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] qa_n [/mm] + [mm] q^{n+1}$ [/mm]
Ist [mm] $a_n$ [/mm] konvergent, folgt daraus sofort:

$a : = [mm] \lim_{n\to \infty} a_{n+1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} (qa_n [/mm] + [mm] q^{n+1}) [/mm] = qa$

d.h. $a = qa [mm] \gdw [/mm] a=0$

Gruß,
Gono

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Konvergenz: Konvergenz von n*q^n
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Mo 20.09.2021
Autor: olmas

Herzlichen Dank, habs kapiert

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