Konvergenz-Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 18.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Sei [mm] D_1 \subset \IR [/mm] und g : [mm] D_1 [/mm] → R gleichmäßig stetig. Sei [mm] D_0 \subset \IR [/mm] und [mm] f_n [/mm] : [mm] D_0 [/mm] → [mm] D_1 [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] eine Funktionenfolge, die gleichmäßig gegen f : [mm] D_0 [/mm] → [mm] D_1 [/mm] konvergiert.
Zeigen Sie, dass dann die durch Hintereinanderausführung entstehende Funktionenfolge
(g [mm] \circ f_n )_{n \in \IN} [/mm] gleichmäßig gegen g [mm] \circ [/mm] f konvergiert. |
Zunächst gilt aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von [mm] f_n:
[/mm]
Es gibt ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 mit [mm] n_0 \in \IN, [/mm] sodass für alle x [mm] \in [/mm] D mit [mm] n\ge n_0 [/mm] gilt: [mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon. [/mm] Da g gleichmäßig stetig ist, gibt es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0. |f_n(x)-f(x)|<\delta [/mm] => [mm] |g(f_n(x))-g(f(x))|=|g \circ f_n(x)-g\circ f|<\varepsilon. [/mm] Demnach gilt die gleichmäßige Konvergenz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mi 18.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig gedacht, schlecht aufgeschrieben!
1. 2 mal [mm] \epsilon [/mm] in verschiedenen Zusammenhangverwendet.
du musst doch zeigen: [mm] G_n=g(f_n(x)) [/mm] glm stetig, d,h, $ [mm] |g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon. [/mm] für [mm] n>N_0 [/mm] und alle x
Fang damit an und nenn nur das [mm] \epsilon, [/mm] dann glm Stetigkeit von g und glm Konvergenz von f anwenden.
Gruss leduart
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